Похідні від основних елементарних функцій

За аналогією з попередніми прикладами можна дістати похідні від основних елементарних функцій:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Продиференціювати подані далі функції.

Приклад. .

l Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому використовуємо теорему 2:

.

У здобутому виразі перший доданок алгебраїчної суми є добуток сталої величини на степеневу функцію Þ — застосуємо до нього теорему 4 і формулу (2) таблиці похідних; другий — ірраціональна функція з показником — застосуємо формулу (2) таблиці похідних; третій — логарифмічна функція з основою е Þ — використаємо формулу (5):

.

Приклад. .

l Задана функція складна: зовнішня — показникова функція з основою 6, внутрішня для неї — обернена тригонометрична. Обернена тригонометрична, у свою чергу, є складною, для якої внутрішня функція — алгебраїчна сума . Для суми аргументом (скінченним) є х.

Таким чином, задана функція є суперпозицією трьох функцій.

При диференціюванні послідовно застосовуємо два рази теорему 6:

У цьому виразі знизу біля кожної квадратної дужки вказано аргумент, за яким слід диференціювати функцію, взяту в дужки.

Тепер послідовно скористаємося формулами (4), (11), (2) таблиці похідних та теоремами 1, 2. Дістанемо:

.

Взагалі використані правила та формули не фіксують, а записують кінцевий результат їх застосування.

Приклад. .

l Задана функція є степенево-показниковим виразом виду

, де . (7.5)

Прологарифмуємо функцію (4.5) за основою е:

. (7.6)

Оскільки і — складні функції, після диференціювання обох частин рівності (4.6) дістанемо:

.

Звідси .

Таким чином, дістали формулу для знаходження похідної від степенево-показникової функції виду (4.5).

. (7.7)

У даному випадку формула (4.7) виглядає як

.

Похідні вищих порядків

Похідна від функції називається похідною першого порядку і являє собою деяку нову функцію. Мож­ливі випадки, коли ця функція сама має похідну. Тоді похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку від функції і позначається .

Похідна від похідної другого порядку називається похід­ною третього порядку і означається , .

Похідна від похідної (n – 1)-го порядку називається похідною n-го порядку і позначається .

Таким чином,

Приклад. Знайти похідну третього порядку для функції .

l .