Интегрирование по частям
Этот способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv)¢ = u¢v + v¢u,
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: или
.
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
Этот метод применяется, когда подынтегральная функция имеет вид: , где - это многочлен степени п, а является показательной, тригонометрической, обратной тригонометрической или логарифмической функцией.
1. Если - показательная или тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , ), то для того чтобы найти эти интегралы, нужно сделать замену и применить формулу интегрирования по частям n раз.
2. Если - логарифмическая или обратная тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , , , ) то для того, чтобы найти эти интегралы нужно сделать замену: , .
3. Интегралы вида , (a, b — числа) вычисляются двукратным интегрированием по частям.
Пример. Вычислить .
Данный интеграл относится к 1 типу.
Положим , ; тогда , . Найдем . Подставим в формулу интегрирования по частям:
.
Пример. Вычислить .
Данный интеграл относится ко 2 типу
Положим , ; тогда , .
.
Пример. Вычислить
Данный интеграл относится ко 2 типу.
, , ,
=
Пример. Вычислить
Интеграл 1 типа. Имеем , ,
=
Пример. Вычислить
, , ,
=
Пример. Вычислить
, , ,
= =
.
Пример. Вычислить
Пример. Вычислить
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 504;