Понятие неопределенного интеграла

Для дифференцирования существует обратное действие – интегрирование: отыскание функции по известной производной.

Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F′(x) = f(x).

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то выражение F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом:

∫ f(x)dx.

При этом функцию f(x) называют подынтегральной функцией.

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Если F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x), то

ò f(x)dx = F(x) + C,

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла:

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

(ò f(x)dx)′ = f(x)

2) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

ò a∙f(x)dx=a∙ò f(x)dx (a=const)

3) Интеграл от суммы (или разности) двух функций равен сумме (или разности) интегралов от этих функций, т.е.

ò (f(x) ±g(x))dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx.

Таблица основных интегралов

1. , (n ≠ -1)

2.

3.

4.

5.

6. tg x + C

7. -ctg x+ C

8. ∫ tg x dx = -

9. ∫ ctg x dx =

10.

11.

12. arctg x +C

13. arctg

14.

15. arcsin x + C

16. arcsin

17.

18.

19.