Теорема полной вероятности

Теорема полной вероятности формируется на основании теорем сложения и умножения вероятностей.

Пусть сложное событие A может произойти только с осуществлением n некоторых других несовместных событий - предположений, называемых гипотезами H_i, образующими полную группу несовместных событий H

(3.13)

Событие A может осуществиться, если произойдет одно из следующих парных событий: H_i с вероятностью P(H_i) и A/H_i с вероятностью P(A/H_i). Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности

(3.14)

Пример.Требуется определить вероятность отказа секции механизированной крепи q_с за время работы t, если вероятности независимых отказов q_i ее элементов: гидростоек (ГС), гидроцилиндров передвижки (ГП), металлоконструкции (МК) и блока управления секцией (БУ) составляют для времени t соответственно:

Дадим понятие события «отказ секции крепи». Секция крепи откажет, если откажут: гидростойка или гидроцилиндр передвижки, или металлоконструкция, или блок управления, или гидростойка и гидроцилиндр, или гидростойка и металлоконструкция и т. д.

Поэтому для рассматриваемого события следует, что для расчета вероятности отказа q_с секции механизированной крепи следует использовать теорему сложения вероятностей для совместных событий, а для определения вероятности безотказной работы теорему умножения вероятностей для независимых событий.

Таким образом:

Подставим вместо q_i их величины, получим

Для решения поставленной задачи может быть применена теорема умножения вероятностей для независимых событий. Событие «безотказная работа» секции крепи Р_с за время t осуществляется, если безотказно будут работать ГС, ГП, МК и БУ, тогда

Поскольку отказ и «безотказная работа» секции крепи – события

противоположные, то величины могут быть найдены по заданным значениям , а именно

В итоге получаем

Формула Бейеса

Теорема гипотез является следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Известны до опытные вероятности этих гипотез . Известны также условные вероятности P(A/H_i). сложного события А, которое может появиться вместе с одной из гипотез Н_i.

Производится опыт, в результате которого произошло событие А, но неизвестно, вместе с какой из гипотез Н_i осуществилось это событие. В этом случае значения условных после опытных вероятностей гипотез P(H_i/A) определяется по теореме гипотез:

(3.15)

Пример. При работе очистного механизированного комплекса, состоящего из выемочной машины – В, доставочной машины – Д, и крепи - К в разные моменты смены согласно технологии горных работ могут функционировать одна или несколько машин одновременно. Гипотеза Н₁ – функционируют три машины В, Д , К ; гипотеза Н₂ –функционируют Д и К ; гипотеза Н3 – функционирует только крепь К. Обычно В, Д и К функционируют 40% времени смены, т.е. P(H₁)=0,4; Д и К –5% времени т.е. P(H₂)=0,05; К – 55% времени т.е. P(H₃)=0,55.

Условные вероятности появления опасных отказов оборудования (события А) соответственно равны: P(A/H₁)=0,03; P(A/H₂)=0,02; P(A/H₃)=0,01.

Требуется определить условную вероятность P(H₁/A) и вероятность события A (непоявления опасного отказа) в любой момент смены.

Повторение опытов

В теории надежности приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А. При этом интерес представляет не результат каждого отдельного опыта, а общее число появления события А. Такие опыты называются независимыми относительно события А.

Когда при проведении п независимых опытов вероятность Р появления события А во всех опытах одна и та же, то вероятность того, что событие А наступит, ровно k раз, не менее k раз, более k раз, и не более k раз, может быть определена по формуле Бернулли и теоремам Лапласа.

Формула Бернулли

Вероятность того, что в п независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события Р(0≤р≤1) , событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности).

(3.16)

или

(3.17)

где q=1-p.

Вероятность того, что событие наступит:

- менее k раз

(3.18)

- более k раз

(3.19)

- не менее k раз

(3.20)

- не более k раз

(3.21)

Пример.Требуется рассчитать вероятность появления равно 0, 1, 2, 3 и 4-х отказов секций механизированной крепи в четырех (п = 4 ) независимых опытах (рабочих сменах) секции механизированной крепи, если вероятность отказа секции q_c(t = 6ч) = 0,133, а вероятность безотказной работы Р_с (t = 6ч) = 1- q_c (t = 6ч) = 0,867.

При этом , что и подтверждают полученные результаты расчетов.

- менее k раз

- не менее k раз

- не более k раз