Канонические уравнения Гамильтона

В силу известных свойств преобразования Лежандра имеем:

а из уравнений Лагранжа второго рода имеем

Тогда в переменных Гамильтона , канонические уравнения Гамильтона запишутся так:

Уравнения Раусса.

Выберем теперь в качестве независимых переменных K обобщенных координат и обобщенных скоростей (их обозначение общего члена есть ) и n - k переменных (их общий член обозначим ).

Определение. Функцией РаусаR называется преобразование Лежандра (со знаком минус) функции Лагранжа L по части обобщенных скоростей :

В переменных Раусса дифференциальные уравнения движения запишем в виде, который называется уравнениями Раусса:

Доказательство. По свойству преобразования Лежандра имеем

а по определению преобразования Лежандра и его свойству, а также по свойству двойного преобразования Лежандра имеет место

Наконец, из уравнения Лагранжа

Следует

В результате, уравнения Раусса запишутся в виде.

Решение уравнений Раусса для систем с циклическими координатами.

Пусть теперь механическая система с n степенями свободы имеет циклические координаты (их общее обозначение )

тогда как остальные координаты (позиционные координаты, их общее обозначение ) содержатся в функции Лагранжа

Если выполняется условие

то из системы уравнений

можно найти .

Зависимость позиционных координат от времени и начальных условий находят из первых уравнений Раусса

после чего из оставшихся уравнений ищут зависимость от времени позиционных координат.