Достаточные условия устойчивости относительного положения равновесия обобщенно – консервативной системы.

Пусть в равномерно вращающейся системе отсчета движение и взаимодействие тел определяется потенциальными силами, Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то она постоянна на движениях системы:

Положения относительного равновесия определяются из условия:

Теорема. Если в положении относительного равновесия обобщенно – консервативной системы функция W имеет локальный минимум, то относительное равновесие устойчиво по относительным обобщенным координатам и скоростям.

Устойчивость проверяется по положительной определенности матрицы

Малые колебания в консервативных и обобщенно – консервативных системах.

Малые колебания (движения) есть решения линеаризованных уравнений движения около положений равновесия консервативных систем.

В переменных Гамильтона линеаризация есть замена уравнений движения линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это есть 2n уравнений первого порядка

В переменных Лагранжа уравнения малых колебанийконсервативной системы около положения равновесия имеют вид:

и есть система n линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, где постоянные элементы матрицы А определяются через элементы матрицы кинетической энергии в положении равновесия, а

элементы матрицы С определяются потенциальной энергией системы

Различные решения уравнений малых колебаний определяются значениями собственных чисел характеристического уравнения матрицы С по отношению к матрице А :

Так как матрица С симметрична, а матрица А симметрична и положительно определена, то все собственные числа действительны, а соответствующие им собственные векторы взаимно ортогональны по метрике матрицы А:

Известно, что пару квадратичных форм линейной заменой переменных

можно привести к главным осям (в них матрица С диагональна, а матрица А единична)

В главных осях уравнения малых колебаний имеют вид:

То есть система этих уравнений распадается на n независимых малых движений, в каждом из которых возможны три случая:

1. , тогда решение (гармоническое колебание, главное, собственное колебание, есть главная частота колебаний).

2. , тогда решение (безразличное равновесие).

3. , тогда решение (малое движение, не гармоническое колебание),

Собственный вектор , соответствующий собственному числу , находится из уравнения:

Все собственные векторы ортогональны по матрице А:

Собственные векторы являются столбцами с матрице Р из (19.5), так что запись решений уравнений (19.2) возможна в двух эквивалентных формах:

Если среди есть кратные собственные числа, то теория остается верна.