Движение точки по прямой и по окружности

1. Прямолинейное движение. Если траектория точки - прямая линия, то говорят, движение точки прямолинейно. Для описания движения в этом случае достаточно одной координатной оси, которую располагают вдоль по траектории. Координатный и естественный способы задания движения в этом случае совпадают.

В практике наиболее важны два случая - равномерного и ускоренного движения.

а. Равномерное движение (рис.9). Скорость vпостоянна по величине и по направлению, v= const.Или в проекции: v_x= const.. Кинематический закон равномерного движения имеет вид: x = x₀ +v_xt. (4.1)

Начальная координата точки x₀ и проекция скорости v_x могут иметь знак "плюс" или "минус".

б. Ускоренное движение. Скорость изменяется со временем. Пусть ускорение точки есть a, в проекции на ось a_x. Тогда скорость в любой момент времени найдется интегрированием: v_x = òa_xdt + v₀. (4.2)

При постоянном ускорении, a_x= const, получаем скорость точки в равноускоренном движении: v_x = v₀+a_xt. (4.3)

После второго интегрирования находим закон равноускоренного движения:

x=x₀+ x₀+v₀t+ . (4.4)

Знак числа x₀определяется положением точки на координатной оси в начальный момент времени. Справа от точки отсчета - знак "плюс", слева - знак "минус". Знаки чисел v₀ и a_x определяются знаками проекций соответствующих векторов на ось ОХ. Если вектор vили aсовпадает по направлению с осью OX - знак "плюс", если противоположен - знак "минус".

2. Движение точки по окружности. Наиболее наглядно векторное представление этого движения (рис.10). Здесь С - центр окружности,r - радиус-вектор, проведенный из центра окружности в движущуюся точку М, v- скорость движения точки М.

Угловую скорость вращения радиуса - вектора удобно показать вектором угловой скорости w. Модуль вектора w равен производной угла поворота радиуса по времени, w = , а направление w совпадает с поступательным движением правого винта. Все три вектора r, w и v однозначно связаны между собой: = [ ]. (4.5)

Вектор w перпендикулярен плоскости траектории, поэтому угол w ^ r = 90°, и v =w r sin(w ^r)=w _.r. (4.6)

Найдем ускорение точки М.

= = [ ] = [ ] +[ ] . (4.7)

Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение, , а производная радиуса-вектора - вектор скорости, = = [ ]Þ = [ ] + [ [ ]] . (4.8)

Раскроем двойное векторное произведение.

[ [ ]] = ( ) - ( ) =-w² .Итак: = [ ]-w² . (4.9)

Член [ ] = - касательное ускорение. Оно или сонаправлено или противоположно по направлению вектору скорости точки .

Член -w² - центростремительное ускорение. Оно перпендикулярно вектору скорости , следовательно, перпендикулярно касательной к траектории. Поэтому его называют нормальным ускорением, -w² . Вектор полного ускорения равняется сумме касательного и нормального ускорений: . (4.10)

Очевидно, модуль полного ускорения a = . (4.11)

Если точка в своем движении по окружности проходит расстояние, большее длины окружности, то её смещение по траектории от точки отсчета циклично. Записывать закон движения через смещение в этом случае чревато путаницей. Удобнее закон движения точки по окружности представлять через угол, для которого цикличность естественна (рис.11):

Если точка движется по окружности равномерно, то j = j₀+w t. (4.12)

При ускоренном движении j =j₀+w₀ t + . (4.13)

Вращательное движение характеризуется ещё такими параметрами:

а. Частота вращения n. Она равна числу оборотов радиуса-вектора в секунду. Единица n - герц, 1 Гц = 1 , n = . (4.14)

б. Период вращения Т. Это время одного оборота радиуса-вектора T = . (4.15)