Десятичные и двоичные числа

Повседневно применяемая система чисел является десятичной, в ней используются цифры от 0 до 9. Система имеет десять разных разрядов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9), и говорят, что ее основание равно 10.

Двоичная система счисления имеет основание 2 и использует только цифры 1 и 0.

Преобразование двоичных чисел в десятичные. Десятичное число 234.5 эквивалентно числу

2 х 10² + 3x 10¹ + 4 х 10⁰ + 5 х 10^-1

или сумме членов, каждый из которых содержит цифру, умноженную на основание, возведенное в некоторую степень.

У двоичной системы счисления основание 2, значит, число 1101.1 эквивалентно 1 х 2³ + 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2⁰ + 1 х 2^-1.

Таким образом, эквивалентное двоичному числу 1101.1 десятичное число равно 8 + 4 + 0 + 1 + 1/2, т. е. 13.5. Итак, 1101.12 = 13.5₁₀, индексы 2 и 10 означают двоичную и десятичную системы счисления соответственно.

Пример. Преобразовать 101.0101₂ в десятичное число.

101.0101₂ = 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2⁰ + 0 х 2^-1 + 1 х 2^-2 + 0 х 2^-3 + 1 х 2^-4 = 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 + 0 + 0.0625 = 5.3125₁₀.

Преобразование десятичных чисел в двоичные. Целое десятичное число может быть преобразовано в соответствующее ему двоичное число посредством последовательного деления на 2 и записи остатка на каждом этапе деления, как показано ниже на примере числа 39₁₀.

В искомом результате цифру старшего разряда остатка записывают как младший двоичный разряд (бит — это двоичный разряд, а младший разряд — тот, что находится справа). Младший бит остатка — это старший разряд, т. е. бит слева. Таким образом, 39₁₀ = 100111₂.

Для дробей старший разряд результата — это старший бит целой части произведения исходного числа на 2. Младший разряд результата — это младший бит целой части произведения исходного числа на 2. Таким образом, 0.625₁₀ = 0.101₂.

Преобразование десятичного числа в двоичное через десятичное. Для целых десятичных чисел, содержащих несколько разрядов, последовательное деление на 2 может быть длительным процессом. В данном случае, как правило, проще преобразовать десятичное число в двоичное через восьмеричную систему счисления. Эта система имеет основание 8 и использует цифры 0,1,2, 3, 4, 5, 6 и 7. Десятичное число, эквивалентное числу 4317₈, — это

Целое десятичное число может быть преобразовано в соответствующее ему восьмеричное число посредством последовательного деления на 8 и записи остатка на каждом этапе деления, как показано ниже на примере числа 493₁₀.

Таким образом, 493₁₀ = 755₈.

Дробная часть десятичного числа может быть преобразована в восьмеричную систему посредством умножения на 8, как показано ниже на примере дроби 0.4375₁₀:

Для дробей старший разряд — это старший разряд числа, полученного при умножении дроби на 8. Итак

Естественное двоичное представление для цифр от 0 до 7 показано в Табл. 1.5. Восьмеричное число может быть преобразовано в двоичное посредством записи трех разрядов, соответствующих цифре в восьмеричной системе. Таким образом

Если в старшем разряде записан «0», он не означает ничего. Таким образом

Чтобы преобразовать 11 110 011.100 01₂ в десятичное число через восьмеричную систему, поступаем так.

Группируем двоичные цифры в группы по три по правилам двоичной системы:

Используя Табл. 1.5 для преобразования этого двоичного числа в восьмеричное, в итоге получаем 363.42₈, откуда