Аналитическое решение заданного уравнения

Уравнение

у' – у = -2ху^-1

есть уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом Бернулли, для чего положим у = uv, где u и v две неизвестные функции. Тогда исходное уравнение преобразуется к следующему:

u'v – v'u – uv = -2x(uv)^-1

или

u(v'–v)+ u'v = -2x(uv)^-1 . (*)

Функцию v выберем из условия v' – v = 0, причем возьмем частное решение этого дифференциального уравнения v = е^х.

Подставив v в уравнение (*), получаем u' е^х = -2хu^-1е^-х,

а это – уравнение с разделяющими переменными. Решая его, находим

u² = с +2хе^-2х + е^-2х .

Так как решение исходного уравнения есть произведения функций u и v, то получаем .

При начальном условии у(0) = 1 получим

.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

.

Сравнение точного решения и приближенных решений исходного дифференциального уравнения

Таблица 6

Контрольная работа №7

Пусть дано:

;у(0) = 0; x [0,0,2]; .

Для выбора шага интегрирования вычислим решение в точке х = 0,1 с шагом h = 0,1(табл.7) и с шагом h = 0,05 (табл.8).

Таблица 7

В таблицах .

Таблица 8

Так как полученные результаты совпадают в пределах заданной точности, вычисления продолжим с шагом h = 0,1 и с шагом h = 0,2.

Результаты вычислений помещены в табл.9 и табл.10 соответственно.

Таблица 9

Таблица 10

Сравнение результатов расчета, полученных с шагом h = 0,1 и с шагом h = 0,2, показывает, что с точностью до ε = 10^-3 можно принять у(0,2) ≈ 0,014158 и что в дальнейшем шаг расчета следовало бы снова удвоить.