Конические поверхности.

Определение. Конической называется поверхность, которую образует множество всех прямых (образующих), проходящих через каждую точку некоторой кривой (направляющей), и через некоторую точку O (вершину).

Выберем декартову СК так, чтобы начало координат совпадало с вершиной конической поверхности F. Пусть F(x, y, z) = 0 – уравнение поверхности F в этой СК. Поскольку мы рассматриваем только поверхности второго порядка, то F – многочлен второй степени от 3 переменных. Тогда функция двух переменных

j(x, y) = F(x, y, c)

будет также многочленом второй степени для любого cÎR, а система

j(x, y) = 0,

z = c

будет задавать сечение поверхности F плоскостью z = c. Получающуюся в сечении кривую g выберем в качестве

направляющей. Т.к. j(x, y) – многочлен 2 степени, то g – кривая 2 порядка. Если g – центральная, то можем считать, что ось Oz проходит через ее центр.

Предположим сначала, что направляющая – эллипс

g: + – 1 = 0, (*)

z = c

Пусть M(x₁, y₁, z₁) – произвольная точка поверхности F. Тогда вся прямая OM должна лежать на поверхности. Ее параметрическое уравнение:

x = x₁t,

OM: y = y₁t,

z = z₁t.

Пусть она пересекает направляющую g в точке M_o(x_o, y_o, c). Тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой OM:

x_o = x₁t, x_o = x₁c/z₁,

y_o = y₁t, Þ y_o = y₁c/z₁,

c = z₁. t = c/z₁.

А теперь подставим найденные выражения в уравнение эллипса:

+ – 1 = 0.

Домножим это уравнение на z₁/c, и получим

+ – = 0. (2)

Обратно, пусть координаты точки M(x₁, y₁, z₁) удовлетворяют уравнению (2). Тогда этому уравнению удовлетворяют и координаты любой точки на прямой OM:

+ – = t ²( + –) = t ²·0 = 0,

а подставив в (2) z = c, получим уравнение эллипса (*). Значит, (2) и есть уравнение конической поверхности. Опуская индексы, окончательно получаем каноническое уравнение конуса.

+ – = 0.

Аналогично, если направляющая кривая – это гипербола

– –1 = 0,

z = c ,

получим уравнение конической поверхности

– – = 0 Û – + + = 0.

Это такой же «эллиптический» конус, только ось его будет не Oz, а Oz¢.

Пусть теперь направляющая g – это парабола

x² = 2py,

z = c .

Тогда тем же способом получим уравнение

x² = yz. (**)

Повернем СК на 45^о вокруг оси Ox. Тогда формулы замены координат имеют вид

x = x¢,

y = (y¢+ z¢),

z = (– y¢+ z¢).

Подставим эти формулы в (**), и обозначив a² = p/c, получим

x² = a²(– y¢ ² + z¢ ²) Û + y¢ ² – z¢ ² = 0.

Таким образом, уравнение (**) тоже определяет конус, ось которого является биссектрисой угла yOz. При этом, оси Oy и Oz принадлежат конусу. Поэтому плоскость, в которой лежит направляющая g, параллельна образующей.

Мы уже говорили в предыдущей главе, что эллипс, гипербола и парабола – это конические сечения. Теперь мы в этом убедились.

Если направляющей служит пара прямых, то коническая поверхность представляет собой пару плоскостей, обязательно пересекающихся или совпадающих, т.к. обе плоскости должны проходить через начало координат. Эти поверхности относятся также к цилиндрическим и они были рассмотрены в предыдущем параграфе.

Итак, мы установили, что существуют 4 типа конических поверхностей:

1. Конус + – = 0.

2. Пара пересекающихся плоскостей a²x² – b² y² = 0 .

3. Пара мнимых пересекающихся плоскостей a²x² + b² y² = 0 .

4. Пара совпадающих плоскостей x² = 0.