Эллиптический и гиперболический параболоиды.

Определение. Эллиптическим и гиперболическим параболоидами называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида

F₃: + = 2z (8) F₄: – = 2z. (9)

Исследуем их форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z = h получаем соответственно кривые

+ = 2h – = 2h (*)

Обозначим a¢² = 2½ h½ a² , b¢ ² = 2½ h½b² .

При h >0 получаем эллипсы При h ¹ 0 получаем гиперболы

+ = 1, – = ±1,

полуоси которых возрастают при (см. на рисунке g₄), а при h = 0 из

возрастании h, а при h <0 полу- (*) получаем уравнение, которое

чаем мнимые эллипсы задает пару пересекающихся

прямых

+ = –1. – = 0.

В сечениях плоскостями y = h получаем для обеих поверхностей параболы

x² = 2a²(z – ). x² = 2a²(z + ).

Причем параметр этих парабол одинаков для обеих поверхностей и не зависит от h: p = a². Таким образом, все параболы в сечениях равны друг другу и получаются одна из другой параллельным переносом. Вершины этих парабол имеют координаты

(0, h, ). (0, h,– ).

Значит вершины при перемещении парабол описывают кривую в плоскости Oyz

g₂ : z = Û y² = 2b²z g₂ : z = – Û y² = –2b²z,

т.е. параболу. Поэтому можем сказать, что оба параболоида получаются движением параболы g₁, когда ее вершина скользит по параболе g₂ (см. рисунки).

Аналогично, в сечениях параболоидов плоскостями x = h получаем равные друг другу параболы, причем g₂ тоже будет среди них; а вершины этих парабол описывают параболу g₁: x² = ±2b²z в плоскости Oxz («+» для F₃, «–» для F₄).

Прочие геометрические свойства гиперболоидов.

1. Из уравнения (8) получаем, что z ³ 0, т.е. F₃ целиком находится в полупространстве, которое определяется этим неравенством.

2.Координатные оси пересекают оба параболоида только в точке O(0, 0, 0), которая называется вершиной.

3.Ось Oz является осью симметрии параболоидов, а координатные плоскости Oxz и Oyz – плоскостями симметрии. Других симметрий у параболоидов нет.

4. При a = b F₃ будет поверхностью вращения, а гиперболы в сечениях F₄ плоскостями z = h будут равнобокими.

5.Мы уже видели, что в сечениях F₄ плоскостями z = h может получаться пара прямых. Примем без доказательства, что F₁ является линейчатой поверхностью и через каждую его точку проходит пара прямых, лежащая на поверхности.