Поверхность вращения.

Пусть некоторая кривая g расположена в плоскости Oyz. Будем вращать ее вокруг оси Oz. Получим некоторую поверхность F, которая называется поверхностью вращения. Каждая точка кривой g описывает окружность – параллель, центр которой лежит на оси Oz.

Пусть

j(y, z) = 0 – (3)

уравнение кривой g в плоскости Oyz. Тогда в пространстве она задается системой

j(y, z) = 0,

x = 0.

Пусть M(x, y, z) – произвольная точка поверхности F. Тогда она лежит на одной из таких параллелей l и может быть получена поворотом точки M_o(0, y_o, z_o) = g I l. Очевидно, что z_o= z (*), и центр O¢ параллели l имеет координаты O¢(0, 0, z). Кроме того, ½O¢M½ =½O¢M_o½ . В координатах это условие имеет вид

y_o= . (**)

Координаты точки M_o должны удовлетворять уравнению (3): j(y_o, z_o) = 0. Подставляя сюда (*) и (**) получаем

j(, z) = 0. (4)

Обратно, пусть координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (4). Тогда, если выполнено (*) и (**), то этому уравнению будут удовлетворять координаты точки M_o(0, y_o, z_o), а значит M_oÎg. Кроме того, в силу (*) и (**) точка M_o лежит на одной параллели с M, а значит M может быть получена поворотом точки M_o вокруг оси Oz Þ MÎF.

Итак, мы доказали, что (4) есть уравнение поверхности вращения F. Таким образом, для того чтобы из уравнения кривой g получить уравнение поверхности вращения F, мы в уравнении кривой оставляем без изменения координату z, а y заменяем: y a .

Обратно, если в уравнении поверхности можно выделить , и при этом, нигде более координаты x и y в уравнение не входят, то мы сразу можем сделать вывод, что наша поверхность есть поверхность вращения вокруг Oz.

Пример 1. Пусть g – окружность в плоскости Oyz радиуса b с центром в точке A(0, a, 0)ÎOy, a > b. Будем вращать ее вокруг Oz. Получим поверхность, которая называется тором. Уравнение окружности в плоскости Oyz имеет вид:

(y – a)² + z ² = b².

Вращаем вокруг Oz. Поэтому z оставляем без изменений, а y заменяем:

y a :

( – a)² + z² = b².

Получили уравнение тора. Заметим, что тор не относится к поверхностям 2 порядка.

Пример 2. Поверхность F задается уравнением

x² + z² = 2y.

Мы можем переписать его так:

()² = 2y.

Координаты x и z входят в уравнение только в выражении . Значит, наша поверхность – это поверхность вращения вокруг Oy. Для того, чтобы

получить уравнение кривой, которая вращается, мы заменяем на x и получаем уравнение кривой g в плоскости Oxy: x² = 2y. В пространстве эта кривая задается системой

x² = 2y,

z = 0.

Точно так же мы можем заменить на z и получить уравнение кривой g¢ в плоскости Oyz: z ² = 2y. Вращая вокруг Oy первую или вторую кривую, мы получим одну и ту же поверхность.

Эллипсоид.

Определение. Эллипсоидом называется поверхность F, имеющая каноническое уравнение вида

+ + = 1. (5)

Исследуем ее форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z = h получаем кривую

+ = 1– (*)

Если ½ h ½ ¹ c , то обозначим a¢² = a²½1– ½ , b¢² = b²½1– ½ .

При ½ h ½< c получаем эллипсы + = 1, полуоси которых a¢ и b¢ достигают максимального значения a и b при h = 0.

При ½ h ½ > c получаем мнимые эллипсы + = –1 (Æ). А при h = ± c из (*) получаем уравнение + = 0, которое задает только одну из точек C₁(0, 0, c) или C₂(0, 0,– c).

Аналогично, в сечениях плоскостями x = h , или y = h в случае ½ h ½< a , или ½ h ½< b, получаем только эллипсы, полуоси которых достигают максимальных значений при h = 0. При h = ± a , или h = ± b будем получать одну точку.

Прочие геометрические свойства эллипсоида.

1.Из уравнения (5) получаем, что ½ x ½£ a, ½ y ½£ b, ½ z ½£ c (если ½ x ½> a, то уже первое слагаемое в (5) будет больше 1, а к нему еще надо что-то прибавить). Значит, весь эллипсоид содержится в пар-де, который определяется этими неравенствами.

2. Координатные оси пересекают эллипсоид в точках A₁(a, 0, 0), A₂(– a, 0, 0), B₁(0, b, 0), B₂(0,– b, 0), C₁(0, 0, c), C₂(0, 0,– c), которые называются вершинами эллипсоида.

3.Координатные оси являются осями симметрии эллипсоида, координатные плоскости – плоскостями симметрии, начало координат О – центром симметрии.

Действительно, пусть M(x, y, z) – произвольная точка эллипсоида. Тогда ее координаты (x, y, z) удовлетворяют уравнению (5). Но тогда этому уравнению удовлетворяют также тройки чисел ( x,– y,– z), (– x, y,– z), (– x,– y, z), (x, y,– z), (x,– y, z), (– x, y, z), (– x,– y,– z), которые определяют точки симметричные M соответственно относительно осей Ox, Oy, Oz, плоскостей Oxy, Oxz, Oyz и точки O. Поэтому все эти точки тоже принадлежат эллипсоиду.

На рисунке показано, как изменяются координаты точки при симметрии относительно оси Oz, плоскости Oxy и точки O.

4. При a = b эллипсоид будет поверхностью вращения вокруг Oz. Действительно, в этом случае его уравнение можно переписать так:

+ = 1.

Аналогично, при a = c эллипсоид будет поверхностью вращения вокруг Oy, а при b = c – вокруг Ox.

При a = b = c эллипсоид будет сферой:

x² + y² + z² = a² (**).

Произвольный эллипсоид может быть получен из сферы (**) в результате равномерного сжатия (растяжения) по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Действительно, если в (**) сделать замену координат x = x¢, y = y¢, z = z¢, то получим уравнение (5), только со штрихами.