Классификация поверхностей второго порядка.

<33 34 35 363738 39 >

Определение. Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек пространства координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

а₁₁х²+а₂₂у²+a₃₃z²+2а₁₂ху +2а₁₃ху +2а₂₃уz +

+2а₁х+2а₂у+2a₃z+ c=0, (8)

где среди коэффициентов a_ij, i,j=1,2,3 есть хотя бы один ненулевой. Выражение в первой строке называется квадратичной частью уравнения, с – свободным членом, остальное – линейная часть.

Квадратичная часть уравнения (8) представляет собой квадратичную форму. Её коэффициенты образуют матрицу

a₁₁ а₁₂ а₁₃

A = а₁₂ а₂₂ а₂₃

а₁₃ а₂₃ а₃₃

В курсе линейной алгебры доказывается, что матрицу любой квадратичной формы с помощью поворота координатных осей декартовой СК можно привести к диагональному виду

λ₁ 0 0

A¢ = 0 λ₂ 0

00λ₃

Тогда в новой декартовой СК Ox¢y¢z¢с тем же началом квадратичная часть уравнения (8) примет к вид:

λ₁x¢²+ λ₂y¢²+ λ₃z¢², (9)

который тоже называется диагональным. При этом числа λ₁, λ₂, λ₃не зависят от выбора новой декартовой СК Ox¢y¢z¢. Т.е. если ещё в одной декартовой СК квадратичная часть уравнения имеет вид (9), то набор чисел λ₁, λ₂, λ₃ будет тем же (может измениться только их порядок). Если количество отрицательных коэффициентов λ_i больше, чем количество положительных, то мы во всём уравнении поверхности поменяем знаки. Затем мы выберем именно такой порядок обозначения координатных осей, что сначала будут следовать положительные λ_i, потом отрицательные, а в конце нулевые. Таким образом, если только одно из λ_i равно нулю, то это будет именно λ₃. А если только одно λ_i ≠0, то можем считать что это λ₁.

Тогда набор знаков λ₁, λ₂, λ₃будет одним из следующих: (+,+,+), (+,+,–), (+,+,0), (+,–,0), (+,0,0). Этот набор называется сигнатурой квадратичной формы. Имеем уравнение:

λ₁x¢²+λ₂y¢²+λ₃z¢²+2b₁x¢+2b₂y¢+2b₃z¢+c=0(10)

Далее, если все λ_i ≠0 мы выделим полные квадраты

λ₁(x¢²+ x¢+ ) – + λ₂(y¢²+ y¢+ ) – +

+ λ₃(z¢²+ z¢+ ) – + c=0,

λ₁²+ λ₂²+ ²+ c¢=0.

Более подробно мы изучим эту процедуру выделения квадратов на практике. Затем делаем замену координат

x²= x¢+ , y²= y¢+ , z²= z¢+ ,

которая означает перенос начала координат в точку O¢(– ,– ,–). Получим уравнение вида

λ₁(x²)²+λ₂(y²)²+λ₃(z²)² = –с'.

Затем делим уравнение на |с¢|, если с¢ ≠ 0. Тогда в правой части уравнения останется 1, –1 или 0. Мы получим одно из уравнений 1 – 6 (см.таблицу ниже).

Если λ₃=0, то мы не можем выделить полный квадрат по z¢, но тогда преобразуем выражение 2b₃z¢+c¢ так: 2b₃(z¢+c¢/2b₃),и третья координата также будет участвовать в переносе начала координат в виде z²= z¢+c¢/2b₃. В этом случае в уравнении остается слагаемое 2b₃z'', но не остается свободного члена и слагаемого, содержащего (z²)²:

λ₁(x²)²+λ₂(y²)² = –2b₃z''.

Мы разделим уравнение на |b₃| и получим одно из уравнений вида 7,8 (см.таблицу ниже). Если при этом справа получится не 2z'', а –2z'', то это будет всё равно та же поверхность, только ориентированная по-другому относительно координатных осей.

Если λ₃=0 и b₃=0, то мы получим уравнение вида

λ₁(x²)²+λ₂(y²)² = – с',

которое даст нам одну из поверхностей 9 – 13 из списка.

Аналогично рассматривается и случай λ₂=λ₃=0. Итак, мы показали, что уравнение (8) мы можем привести к одному из следующих:

Поверхность	Eё каноническое уравнение	Инварианты
1. Эллипсоид	+ + =1,	d>0 ∆<0
2. Мнимый эллипсоид (Ø)	+ + =–1,	d>0 ∆>0
3. Мнимый конус (точка)	+ + =0,	d>0 ∆=0
4. Двуполостной гиперболоид	+ – =–1,	d<0 ∆<0
5. Однополосной гиперболоид	+ – =1,	d<0 ∆>0
6. Конус	+ – =0,	d<0 ∆=0
7. Эллиптический параболоид	+ = 2z,	d=0 ∆<0
8. Гиперболический параболоид	–=2z,	d=0 ∆>0
9. Эллиптический цилиндр	+ =1,	d=∆=0 I₂>0 I₁∙I₄<0
10. Мнимый эллиптический цилиндр	+ =–1,	d=∆=0 I₂>0 I₁∙I₄>0
11. Пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой	+ =0,	d=∆=0 I₂>0 I₄=0
12. Гиперболический цилиндр	– =1,	d=∆=0 I₂<0 I₄≠0
13. Пара пересекающихся плоскостей	– =0,	d=∆=0 I₂ <0 I₄=0
14. Параболический цилиндр	x² = 2py	d=∆=0 I₂=0 I₄≠0
15. Пара параллельных плоскостей	x²=a²	d=∆=0 I₂=I₄=0 I₃>0
16. Пара совпадающих плоскостей	x² =0	d=∆=0 I₂=I₄=0 I₃=0
17. Пара мнимых параллельных плоскостей	x² =–a²	d=∆=0 I₂=I₄=0 I₃<0

Здесь мы использовали инварианты:

а₁₁а₁₂а₁₃a₁₁ a₁₂ a₁₃a₁

d= а₁₂а₂₂а₂₃ a₁₂a₂₂ a₂₃a₂

а₁₃ а₂₃a₃₃a₁₃ a₂₃ a₃₃ a₃

a₁ a₂ a₃ c

I₁ = trace d =a₁₁ +a₂₂ +a₃₃

I₂ = + + – сумма диагональных мино-

ров второго порядка в d

– сумма диагональных мино-

I₃= + + ров второго порядка из ∆, не

входящих в d.

a₁₁a₁₂a₁₁ a₁₁ a₁₃ a₁ a₂₂ a₂₃ a₂ – сумма диагональ-

I₄= a₁₂ a₂₂a₂ + a₁₃ a₃₃ a₃+ a₂₃ a₃₃ a₃ ныхминоров

a₁ a₂ c a₁ a₃ c a₂ a₃ c третьего порядка

в ∆, кроме d

Теорема.Величины δ, ∆, I₁, I₂не изменяются при любых преобразованиях декартовой СК, I₃ , I₄не изменяются при повороте координатных осей, но меняются при переносе начала координат (без доказательства).

Поэтому эти величины называют инвариантами поверхности второго порядка. Вычислив эти инварианты мы можем определить тип поверхности, не упрощая ее уравнения. Однако так мы не сможем определить положение поверхности в пространстве и величины полуосей.

<33 34 35 363738 39 >

Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 531;