Классификация поверхностей второго порядка.


Определение. Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек пространства координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

а11х2+ а22 у2 + a33z2 +2а12 ху + 2а13 ху + 2а23 уz +

+ 2а1х + 2а2 у +2a3z+ c = 0, (8)

где среди коэффициентов aij, i,j=1,2,3 есть хотя бы один ненулевой. Выражение в первой строке называется квадратичной частью уравнения, с – свободным членом, остальное – линейная часть.

Квадратичная часть уравнения (8) представляет собой квадратичную форму. Её коэффициенты образуют матрицу

a11 а12 а13

A = а12 а22 а23

а13 а23 а33

В курсе линейной алгебры доказывается, что матрицу любой квадратичной формы с помощью поворота координатных осей декартовой СК можно привести к диагональному виду

λ1 0 0

A¢ = 0 λ2 0

00λ3

Тогда в новой декартовой СК Ox¢y¢z¢с тем же началом квадратичная часть уравнения (8) примет к вид:

λ1x¢2+ λ2y¢2+ λ3z¢2, (9)

который тоже называется диагональным. При этом числа λ1, λ2, λ3не зависят от выбора новой декартовой СК Ox¢y¢z¢. Т.е. если ещё в одной декартовой СК квадратичная часть уравнения имеет вид (9), то набор чисел λ1, λ2, λ3 будет тем же (может измениться только их порядок). Если количество отрицательных коэффициентов λi больше, чем количество положительных, то мы во всём уравнении поверхности поменяем знаки. Затем мы выберем именно такой порядок обозначения координатных осей, что сначала будут следовать положительные λi, потом отрицательные, а в конце нулевые. Таким образом, если только одно из λi равно нулю, то это будет именно λ3. А если только одно λi ≠ 0, то можем считать что это λ1.

Тогда набор знаков λ1, λ2, λ3 будет одним из следующих: (+, +, +), (+, +, –), (+, +, 0), (+, –, 0), (+, 0, 0). Этот набор называется сигнатурой квадратичной формы. Имеем уравнение:

λ1x¢2+λ2y¢2+λ3z¢2 +2b1x¢+2b2y¢+2b3z¢+ c = 0(10)

Далее, если все λi ≠ 0 мы выделим полные квадраты

λ1(x¢2 + x¢+ ) – + λ2(y¢2 + y¢+ ) – +

+ λ3(z¢2 + z¢+ ) – + c = 0,

λ12+ λ22+ 2+ c¢= 0.

Более подробно мы изучим эту процедуру выделения квадратов на практике. Затем делаем замену координат

x² = x¢+ , y² = y¢+ , z² = z¢+ ,

которая означает перенос начала координат в точку O¢(– ,– ,– ). Получим уравнение вида

λ1(x²)2+λ2(y²)2+λ3(z²)2 = – с'.

Затем делим уравнение на | с¢|, если с¢ ≠ 0. Тогда в правой части уравнения останется 1, –1 или 0. Мы получим одно из уравнений 1 – 6 (см.таблицу ниже).

Если λ3= 0, то мы не можем выделить полный квадрат по z¢, но тогда преобразуем выражение 2b3z¢+ c¢ так: 2b3(z¢+ c¢/2b3),и третья координата также будет участвовать в переносе начала координат в виде z² = z¢+ c¢/2b3. В этом случае в уравнении остается слагаемое 2b3z'', но не остается свободного члена и слагаемого, содержащего (z²)2:

λ1(x²)2+λ2(y²)2 = –2b3z''.

Мы разделим уравнение на | b3| и получим одно из уравнений вида 7, 8 (см.таблицу ниже). Если при этом справа получится не 2z'', а –2z'', то это будет всё равно та же поверхность, только ориентированная по-другому относительно координатных осей.

Если λ3= 0 и b3= 0, то мы получим уравнение вида

λ1(x²)2 +λ2(y²)2 = – с',

которое даст нам одну из поверхностей 9 – 13 из списка.

Аналогично рассматривается и случай λ2= λ3= 0. Итак, мы показали, что уравнение (8) мы можем привести к одному из следующих:

Поверхность Eё каноническое уравнение Инварианты
1. Эллипсоид + + =1, d>0 ∆<0
2. Мнимый эллипсоид (Ø) + + = –1, d>0 ∆>0
3. Мнимый конус (точка) + + = 0, d>0 ∆=0
4. Двуполостной гиперболоид + – = –1, d<0 ∆<0
5. Однополосной гиперболоид + – = 1, d<0 ∆>0
6. Конус + – = 0, d<0 ∆=0
7. Эллиптический параболоид + = 2z, d=0 ∆<0
8. Гиперболический параболоид – = 2z, d=0 ∆>0
9. Эллиптический цилиндр + =1, d=∆=0 I2>0 I1∙I4<0
10. Мнимый эллиптический цилиндр + = –1, d=∆=0 I2>0 I1∙I4>0
11. Пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой + = 0, d=∆=0 I2>0 I4=0
12. Гиперболический цилиндр – = 1, d=∆=0 I2<0 I4≠0
13. Пара пересекающихся плоскостей – = 0, d=∆=0 I2 <0 I4=0
14. Параболический цилиндр x2 = 2py d=∆=0 I2=0 I4≠0
15. Пара параллельных плоскостей x2 = a2 d=∆=0 I2=I4=0 I3>0
16. Пара совпадающих плоскостей x2 = 0 d=∆=0 I2=I4=0 I3=0
17. Пара мнимых параллельных плоскостей x2 = – a2 d=∆=0 I2=I4=0 I3<0

 

Здесь мы использовали инварианты:

а11 а12 а13 a11 a12 a13 a1

d = а12 а22 а23 a12 a22 a23 a2

а13 а23 a33 a13 a23 a33 a3

a1 a2 a3 c

I1 = trace d =a11 +a22 +a33

I2 = + + – сумма диагональных мино-

ров второго порядка в d

– сумма диагональных мино-

I3 = + + ров второго порядка из ∆, не

входящих в d.

a11a12a11 a11 a13 a1 a22 a23 a2 – сумма диагональ-

I4 = a12 a22a2 + a13 a33 a3 + a23 a33 a3 ныхминоров

a1 a2 c a1 a3 c a2 a3 c третьего порядка

в ∆, кроме d

Теорема.Величины δ, ∆, I1, I2 не изменяются при любых преобразованиях декартовой СК, I3 , I4 не изменяются при повороте координатных осей, но меняются при переносе начала координат (без доказательства).

Поэтому эти величины называют инвариантами поверхности второго порядка. Вычислив эти инварианты мы можем определить тип поверхности, не упрощая ее уравнения. Однако так мы не сможем определить положение поверхности в пространстве и величины полуосей.


Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 539;

Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.012 сек.