Матрицы и определители.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Матрицу принято обозначать большой буквой латинского алфавита, а её элементы – такой же маленькой буквой с двумя индексами, первый (или верхний) из которых обозначает номер строки, а второй (или нижний) – номер столбца, в которых находится данный элемент. Например,

1 2 3 4

5 6 7 8

Это матрица, состоящая из 2 строк и 4 столбцов. Говорим, что она имеет размер 2´4. В ней a₁₁= 1, a₁₂= 2, а a₂₁= 6. Матрица размера n´n называется квадратной матрицей порядка n.

Элементы квадратной матрицы, у которых номера строки и столбца совпадают, образуют главную диагональ. Если все элементы, стоящие вне диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы называется единичной и обозначается буквой E. Например, единичная матрица порядка 3 имеет вид

1 0 0

E = 0 1 0

0 0 1

Если все элементы матрицы, стоящие ниже (выше) главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхнетреугольной (нижнетреугольной).

Понятие определитель вводится только для квадратных матриц. Определитель матрицы A обозначается detA. Если вместо круглых скобок вокруг матрицы мы поставим прямые палочки, то это тоже означает определитель матрицы. Определитель матрицы порядка 2 вычисляется по формуле:

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

Обозначим M_ij – это определитель матрицы, которая получается из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.Он называется минором, дополнительным к элементу a_ij. Тогда определитель матрицы порядка 3 можно вычислить с помощью разложения по первой строке:

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁M₁₁ – a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ = a₁₁ – a₁₂ + a₁₃ .

a₃₁ a₃₂ a₃₃

Пример.

1 2 3

4 5 6 =1· – 2· + 3· = 1· (5· 9 – 6 · 8) – 2· (4· 9 – 6·7) + 3· (4·8 – 5·7) =

7 8 9

= –3 +12 – 9 = 0.

Свойства определителя.

1. Если одна строка или столбец определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

2. Если определитель содержит две одинаковые или пропорциональные строки (два одинаковых или пропорциональных столбца), то он равен нулю.

3. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

4. Общий множитель элементов одной строки (столбца) выносится за знак определителя.

В предыдущем примере все элементы третьего столбца кратны трём. Поэтому мы можем вынести множитель 3 за знак определителя:

1 2 3 1 2 1

4 5 6 = 3· 4 5 2

7 8 9 7 8 3

5. Если к элементам одной строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), домноженные на некоторое число, то определитель матрицы не изменится.

Вычтем в нашем примере из второй и третьей строки первую строку (сама первая строка при этом остается на своем месте без изменений):

1 2 3 1 2 3

4 5 6 = 3 3 3

7 8 9 6 6 6

Мы получили две пропорциональные строки, следовательно, определитель равен нулю.

6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

1 2 –1

0 –3 6 = 1· (–3) · 9 = – 27

0 0 9

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Поэтому её определитель тоже равен произведению диагональных элементов.

Правило Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений, в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных. Мы ограничимся случаем, когда это число равно 3:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂+ a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂ (1)

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃ .

Числа a_ij называются коэффициентами системы, а числа b₁, b₂, b₃ – свободными членами. Коэффициенты системы образуют матрицу A, а свободные члены – столбец B:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ b₁

A= a₂₁ a₂₂ a₂₃ B = b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₃ .

Обозначим D = detA, а D_i – определитель матрицы, которая получается из A заменой i-го столбца на столбец B. Например,

b₁ a₁₂ a₁₃

D₁= b₂ a₂₂ a₂₃

b₃ a₃₂ a₃₃ .

Теорема. (Правило Крамера). Если D¹0, то система линейных уравнений (1) имеет единственное решение. Его можно найти по формулам

x₁ = , x₂ = , x₃ = .

Эта теорема верна и для систем, состоящих произвольного числа n уравнений и неизвестных.

Пример. Найти решение системы уравнений

5x + 9y = 3,

3x + 5y = 1.

Решение.

5 93 9 5 3

3 5 1 5 3 1

x₁ = = = –3, x₂ = = = 2.

Ответ: (–3, 2).

Литература

1. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. М.:Наука,1978

2. Погорелов А.В. Геометрия. М.: Наука, 1984.

3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.I. М.:Просвещение, 1986.

4. Базылев В.Т., Дуничев К.И. и др. Геометрия. Ч.I. М.: Просвещение, 1974

5. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.I. М.: Просвещение, 1973

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1981.

7. Постников М.M. Аналитическая геометрия. М.:Наука, 1973.

8. Постников М.M. Лекции по геометрии. Семестр I: Аналитическая геометрия. М.:Наука, 1986.

9. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука, 1990.

10. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Алгебра и геометрия. Минск: Вышэйшая школа,1989

11. Базылев В.Т. и др. Сборник задач по геометрии. М.:Просвещение, 1980.

12. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч.1. М.: Просвещение, 1973.

13. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Под ред. Феденко А.С. Минск: Изд-во Университетское, 1989, 1999.

14. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1987

15. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.:Наука, 1965

16. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986

17. Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Мн.: «Вышейшая школа», 1976

18. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1969