Уравнение прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно задать

а) с помощью точки A_oÎ l и ненулевого вектора ½½ l, который называется направляющим вектором прямой; тогда можем написать, что

l ={M½ ½½ }; (*)

б) как пересечение двух плоскостей l = p₁I p₂ ; в этом случае l будет задаваться системой из двух уравнений (см.§1); это равносильно заданию точки A_oÎ l и двух векторов перпендикулярных прямой.

Задать прямую в пространстве с помощью одного вектора нормали нельзя:

через данную точку перпендикулярно данному вектору проходит бесконечно много прямых.

Теорема 6. 1. Прямая l, проходящая через точку A_o(x_o, y_o, z_o), параллельно вектору (a₁, a₂, a₃) задается уравнением

= = , (28 )

(каноническое уравнение), или параметрическими уравнениями

x = x_o + a₁t ,

y = y_o + a₂ t , (29 )

z = z_o + a₃ t , tÎR,

которые можно записать в векторном виде: = + t, tÎR, где = – радиус-вектор точки A_o.

2. Прямая, проходящая через две точки A_o(x_o, y_o, z_o) и A₁(x₁, y₁, z₁), задается уравнением

= = , (30 )

3. Прямая, проходящая через точку A_o(x_o, y_o, z_o), перпендикулярно двум векторам нормали (A₁, B₁, C₁) и (A₂, B₂, C₂) задается в декартовой СК системой уравнений

A₁(x – x_o) + B₁(y – y_o) + C₁(z – z_o) = 0,

A₂(x – x_o) + B₂(y – y_o) + C₂(z – z_o) = 0.

Доказательство. 1, 2.Доказательство этих пунктов дословно повторяет доказательство пунктов 1 и 2 из теоремы 1, с той лишь разницей, что у всех точек и векторов добавляется еще третья координата.

3. Первое из уравнений системы (31) задает плоскость p₁, проходящую через точку A_o, перпендикулярно вектору , а второе уравнение – плоскость p₂, проходящую через точку A_o , перпендикулярно вектору . Пересечение этих плоскостей и задает нашу прямую.