Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.

Определение. Говорим, что общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 , (25)

имеет нормальную форму, если A ²+B ² + C ² = 1. Это равносильно тому, что вектор (A, B, C) – единичный.

Если уравнение (25) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на m = . Тогда будет выполнено (A/m)² +(B/m)² + (C/m)² = 1.

Теорема 5. Пусть плоскость p определяется уравнением (25) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M(x₁, y₁, z₁) до прямой вычисляется по формуле

h =½Ax₁+ By₁+ Cz₁+ D ½ . (26)

Следствие. Если плоскость определяется произвольным уравнением вида (25), то

h = . (26¢)

Доказательство. Пусть (A, B) – вектор нормали к p. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то ½½= 1. Пусть M_o(x_o, y_o, z_o) – произвольная точка плоскости. Опустим перпендикуляр MN на плоскость p. Пусть a =Ð( , ), b =ÐMM_oN .

1 случай. Точка M и вектор лежат в одном полупространстве относительно плоскости p. Тогда

h =½MN½=½MM_o½·sin b =½½·sin( – a) = ½½·cos a·½½= ·

(мы домножили на ½½, поскольку это единица). Находим, что

(x₁– x_o, y₁– y_o, z – z_o) Þ

h = A(x₁– x_o) + B(y₁ – y_o) + C(z₁– z_o) = Ax₁+ By₁+ Cz₁+ D – (Ax_o+ By_o+ C z_o + D)

(мы добавили и отняли D). Поскольку M_oÎ p, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем

h = Ax₁+ By₁+ Cz₁+ D.

2 случай. Точка M и вектор лежат в разных полупространствах относительно плоскости p. Тогда так же, как и в случае прямой на плоскости b = a – p/2 Þ sin b = – cos a и те же самые вычисления дают

h = – · = –Ax₁ – By₁ – Cz₁– D.

Поскольку h – это расстояние, то h ³ 0. Это означает, что во втором случае Ax₁+ By₁ + Cz₁+D < 0 (равенство исключается, т.к. MÏl). Поэтому h =½Ax₁+ By₁+ C½ . Эта формула подойдет и к первому случаю.

Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax₁+ By₁ + Cz₁+D зависит от того, в каком полупространстве находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M₁, M₂ выяснить, лежат ли они в одной полупространстве относительно плоскости p или в разных (Û пересекает отрезок M₁M₂ плоскость pили нет).

Упражнение. Нарисуйте чертеж к второму пункту в доказательстве теоремы и покажите, что в этом случае b = a – p/2.