Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

В этом параграфе для удобства изложения будем считать, что совпадающие плоскости – это частный случай параллельных.

Пусть две плоскости в пространстве заданы общими уравнениями:

p₁: A₁x + B₁ y + C₁z + D₁ = 0 ,

p₂: A₂x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0 .

Тогда мы сразу можем сделать вывод, что (A₁, B₁, C₁) и (A₂, B₂,C₂) – это векторы нормали к p₁ и p₂.

Теорема 6. 1. p₁½½ p₂ и p₁¹ p₂ Û = = ¹ .

2.p₁= p₂ Û = = = .

3. p₁^ p₂ Û A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

4. угол между p₁ и p₂ вычисляется по формуле

cos a = = . (27)

Доказательство. 1, 2. Очевидно, что p₁½½ p₂ Û ½½ , а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно

= = = l . (*)

При этом, прямые будут совпадать Û у них есть общая точка M_o(x_o, y_o, z_o), т.е. если одновременно выполняется

A₁x_o + B₁y_o + C₁z_o + D₁ = 0,

A₂x_o + B₂y_o + C₂z_o + D₂ = 0.

Вычтем из первого равенства второе, домноженное на l :

(A₁– lA₂)x_o + (B₁– lB₂)y_o + (C₁– lC₂)z_o+ (D₁– D₂) = 0.

В силу (*) обе скобки равны нулю Þ C₁– lC₂ = 0 Û C₁/C₂ = l. (**). Объединяя (*) и (**) получаем требуемый результат.

Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения плоскостей p₁ и p₂ пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число l, получим второе уравнение. Значит эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.

3, 4. Напомним, что плоскости при пересечении образуют две пары вертикальных двугранных углов, и углом между двумя плоскостями называется величина меньшей пары углов. Таким образом, угол a между плоскостями находится в пределах

0 £ a £ p/2 и cos a ³ 0. Пусть b =Ð(, ). Тогда, очевидно, что b, либо равен a, либо является смежным с ним (на рисунке изображен только второй случай).

В первом случае

cos a = cos b = ,

а во втором –

cos a = cos (p – b) = – cos b =½ cos b½ = .

Последняя формула подойдет и к первому случаю.