Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Пусть плоскость p задана общим уравнением, а прямая l – каноническим уравнением:

p: Ax +By +Cz +D = 0 , l: = = .

Тогда сразу можем отметить, что (A, B, C) – это вектор нормали к плоскости p, (a₁, a₂, a₃) – направляющий вектор прямой l и точка A_o(x_o, y_o, z_o)Î l.

Для удобства изложения, в этом параграфе будем считать, что lÎp – это частный случай l½½ p.

Теорема 7. 1. lÎp Û Aa₁+ Ba₂ + Ca₃ = 0, (32.1)

Ax_o+By_o+Cz_o+D = 0, (32.2)

2. l½½ p и lÏp Û Aa₁+ Ba₂ + Ca₃ = 0, (32.1)

Ax_o+By_o+Cz_o+D ≠ 0, (32.3)

3.l^p Û = = . (33)

4. Угол между l и p вычисляется по формуле

sin a = = . (34)

Доказательство. 1,2.Очевидно, что l½½ p Û ^ Û · = 0, а именно это и означает равенство (32.1). При этом, если выполнено (32.2), то A_o(x_o, y_o, z_o) Î p, а значит, и вся прямая будет лежать в плоскости. Если выполнено (32.3) , то A_oÏ p, а значит, и lÏp.

3. Очевично, что l^p Û ½½ , а (33) как раз представляет собой условие коллинеарности этих векторов.

4.Напомним, что углом меж-ду прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Поэтому, если a – угол между l и p, то 0 £ a £ p/2, и sin a ³ 0.

Обозначим b = Ð( , ). Тогда возможны два случая: a = p/2 – b или a = b – p/2 . Оба случая изображены на рисунках.

В первом случае имеем

sin a = cos b = ,

а во втором случае –

sin a = – cos b =½cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю.