Уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость p в пространстве можно задать

а) с помощью точки A_oÎ p и ненулевого вектора ^p; тогда можем написать, что p ={M½ ^}; (*)

б) с помощью точки A_o Î l и двух неколлинеарных векторов и , параллельных p;

в) с помощью трех точек A_o, A₁, A₂Î p , не лежащих на одной прямой.

Теорема 4. 1.Плоскость p, проходящая через точку A_o(x_o, y_o, z_o), перпендикулярно вектору (A, B, C), задается в декартовой СК уравнением

A(x – x_o) + B(y – y_o) + C(z – z_o) = 0. (21 )

2. Плоскость p, проходящая через точку A_o(x_o, y_o, z_o), параллельно двум неколлинеарным векторам изадается уравнением

(22)

3.Плоскость p, проходящая через три точки A_o(x_o, y_o, z_o), A₁(x₁, y₁, z₁), A₂(x₂, y₂, z₂), не лежащие на одной прямой задается уравнением

4.Плоскость p, отсекающая на координатных осях ненулевые отрезки a, b, c задается уравнением

+ + = 1 (24)

(предполагается, что a, b, c могут быть отрицательными).

Доказательство. 1.Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда ^ Û · = 0. Поскольку (x – x_o, y – y_o, z – z_o), то последнее равенство в координатах как раз имеет вид (22).

Обратно, если координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (21), то ^ Û MÎp.

2. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда компланарен векторам и , а это равносильно тому, что смешанное произведение этих трех векторов равно нулю: = 0. В координатах последнее равенство как раз имеет вид (22).

Обратно, если координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (22), то векторы , , компланарны, а значит MÎp.

3. Если плоскость проходит через три точки A_o(x_o, y_o, z_o), A₁(x₁, y₁, z₁), A₂(x₂, y₂, z₂), не лежащие на одной прямой, то векторы (x₁– x_o, y₁– y_o, z₁– z_o) и (x₂ – x_o, y₂ – y_o, z₂ – z_o) неколлинеарны друг другу и параллельны плоскости p. Подставим их координаты в (22) вместо координат векторов и , и получим (23).

4. Условие означает, что плоскость проходит через точки A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). Подставим их координаты в уравнение (23):

x – a y –0 z –0

0 – a b –0 0 –0 = 0 .

0 – a 0 –0 c –0

Самостоятельно раскройте определитель и приведите получившееся уравнение к виду (24).

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Следствие. Любая плоскость определяется уравнением вида

Ax + By + Cz + D = 0 , (25)

которое называется общим уравнением плоскости. И обратно, всякое уравнение вида (25) определяет плоскость.

Доказательство. Любая плоскость может быть задана с помощью точки и вектора нормали, а значит ее можно задать уравнением вида (21). Раскроем скобки и обозначим D = –Ax_o– By_o– Cz_o= const. Получим уравнение (25).

Обратно, пусть некоторое множество p определяется уравнением (25). Пусть A_o(x_o, y_o, z_o) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (25):

Ax_o+ By_o+ Cz_o+ D = 0.

Отсюда D = –Ax_o– By_o– Cz_o , и подставляя это значение в (25) получим (21). А это уравнение, как уже известно, задает плоскость.

Рассмотрим различные частные случаи плоскостей, задаваемых уравнениями вида (25).

1. D = 0. Тогда уравнению

Ax + By + Cz = 0

удовлетворяют координаты точки O(0, 0, 0).

Плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0.Имеем уравнение

Ax + By +D = 0.

Тогда вектор нормали к плоскости – (A, B, 0) и ^Oz, а значит, p½½ Oz.

Аналогично, при B= 0 получим p½½ Oy, а при A = 0 – p½½ Ox.

3.A = B = 0. Имеем уравнение

Cz + D = 0,

которое равносильно z = – C /D. Тогда

p^Oz.

Аналогично, при A = C = 0 будет

p ^Oy, а при B = C = 0 – p ^Ox.