Уравнение прямой на плоскости.
Прямую l на плоскости можно задать
а) с помощью точки AoÎ l и ненулевого вектора ½½ l ; тогда можем написать, что
l ={M½ ½½ }; (*)
б) с помощью точки AoÎ l и ненулевого вектора ^ l ; тогда можем написать, что
l ={M½ ^ }; (**)
в) с помощью двух точек Ao, A1Î l .
Вектор ½½ l называется направляющим вектором прямой, а вектор ^ l называется вектором нормали к прямой.
Теорема 1. 1. Прямая l, проходящая через точку Ao(xo, yo), и имеющая направляющий вектор (a1, a2), задается уравнением
= , (9 )
которое называется каноническим уравнением прямой, или параметрическими уравнениями:
x = xo + a1t ,
y = yo + a2t , tÎR,
которые можно записать в векторном виде так:
= + t, tÎR, (10¢ )
где = – радиус-вектор точки Ao.
2. Прямая, проходящая через две точки Ao(xo, yo) и A1(x1, y1), задается уравнением
= , (11 )
3. Прямая, проходящая через точку Ao(xo, yo), и имеющая вектор нормали (A, B), задается в декартовой СК уравнением
A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (12 )
4. Прямая, отсекающая на координатных осях отрезки длины a ¹ 0, b ¹ 0, задается уравнением
+ = 1 , (13 )
(уравнение прямой в отрезках).
Предполагается, что в пунктах 1, 2 и 4
СК является произвольной аффинной, а числа a и b в пo4 могут быть отрицатель-
ными. В уравнениях (10) и (10¢) в дальнейшем писать tÎRне будем: это будет подразумевается.
Доказательство. 1. Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда (x – xo, y – yo)½½ (a1, a2), а по второму признаку коллинеарности векторов (теор.1¢ §7, гл.1) это равносильно (9).
Обратно, если для координат точки M(x, y) выполнено (9), то по тому же признаку ½½ , а значит, MÎ l .
По первому признаку коллинеарности векторов ½½ Û $ tÎR, такое что = t . В координатах последнее равенство имеет вид
x – xo = t a1, y – yo = t a2,
Для того, чтобы получить уравнение (10) осталось перенести xo и yo в другую часть равенства.
2. Если прямая проходит через две точки Ao(xo, yo) и A1(x1, y1) , то вектор (x1– xo, y1– yo) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Подставляя его координаты в (9) вместо a1, a2, получим (11).
3. Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда
(x – xo, y – yo) ^ (A, B) Û · = 0, а в координатах это условие как раз имеет вид (12). Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (12), то ^ , а значит, MÎ l .
4. Условие означает, что прямая проходит через точки A(a, 0) и B(0, b). Подставляя их координаты в (10), получим
= Û = Û (13) .
При ответе на экзамене недостаточно написать уравнение прямой: требуется обязательно указать, что означает каждый из параметров, входящих в уравнение. Например, выписав каноническое или параметрическое уравнение прямой, следует указать, что (xo, yo) – это координаты точки, через которую проходит прямая, а (a1, a2) – координаты направляющего вектора. Без данных пояснений ответ в виде выписанного уравнения расценивается, как отсутствие ответа.
Следствие. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида
Ax + By + C = 0 , (14)
которое называется общим уравнением прямой. И обратно, любое уравнение вида (14) на плоскости задает прямую.
Доказательство. Любую прямую на плоскости можно задать с помощью точки и вектора нормали. Тогда ее уравнение в декартовой СК будет иметь вид (12). Раскроем скобки:
Ax + By – Axo– Byo = 0
и обозначим C = – Axo– Byo= const . Получим уравнение (14).
Обратно, пусть некоторое множество l определяется уравнением (14), и Ao(xo, yo) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (14): Axo + Byo + C = 0 Þ C = – Axo– Byo. Подставляя это значение в (14) получим (12), а это уравнение, как уже известно, определяет прямую.
Попутно мы выяснили геометрический смысл коэффициентов A и B в общем уравнении прямой: это координаты вектора нормали к прямой: (A, B). И этот факт чрезвычайно важен при исследовании положения прямой и при решении различных задач про прямую на плоскости. Но этот факт верен только в случае декартовой СК.
Если СК на плоскости не является декартовой, то это следствие можно доказать с помощью уравнения (9). В дальнейшем, СК предполагается декартовой, если не оговорено противное.
Рассмотрим различные частные случаи общего уравнения прямой.
1. C = 0 Û l : Ax + By = 0. Тогда урав-нению удовлетворяют координаты точки O(0, 0), т.е. прямая проходит через начало координат.
2. A = 0 Û By + C = 0 Û y = – C /B. Прямая l||Ox .
3. B = 0 Û Ax + C = 0 Û x = – C /A. Прямая l||Oy .
4. B ¹ 0 . Тогда (14) можно переписать так: y = – x –. Обозначим k = – A/B, q = – C /B, и получим уравнение
y = k x + q, (15)
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловым называется коэффициент k. Выясним почему.
Пусть P(x1, y1), Q(x2, y2) – две произвольные точки на прямой l, где y2 ³ y1. Подставим их координаты в уравнение прямой: y1 = k x1 + q, y2 = k x2 + q . Вычтем из второго равенства первое:
y2 – y1= k (x2 – x1).
Поскольку мы исключили случай l½½Oy, то x2 ¹ x1 Þ
k = . (*** )
Выберем на прямой l направление, соответствующее возрастанию ординаты y, и назовем его положительным. Пусть a – угол между положительным направлением оси Ox и положительным направлением прямой l. Назовем его углом наклона прямой. Пусть S – точка с координатами (x2, y1).
1 случай: x2 > x1. Тогда y2 – y1 = QS, x2 – x1 = PS и из DPQS находим, что k = QS/PS = tg a.
2 случай: x2< x1. Тогда y2 – y1= QS, x2 – x1= – PS Þ k = – QS/PS = = – tg b , где b = ÐQPS. Но b = p – a Þ – tg b = tg a . Значит, как и в первом случае k = QS/PS = tg a.
Итак, мы доказали, что k есть тангенс угла наклона прямой. Поэтому он называется угловым коэффициентом. А геометрический смысл коэффициента q очевиден: это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 593;