Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

В этом параграфе для удобства изложения будем считать, что совпадающие прямые – это частный случай параллельных.

Пусть две прямые на плоскости заданы общими уравнениями:

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 ,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0 .

Тогда мы сразу можем сделать вывод, что (A₁, B₁) и (A₂, B₂) – это векторы нормали к l₁ и l₂.

Теорема 2. 1. l₁½½ l₂ и l₁¹ l₂ Û = ¹ .

2.l₁= l₂ Û = = .

3. l₁^ l₂ Û A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

4. угол между l₁ и l₂ вычисляется по формуле

cos a = = . (16)

Доказательство. 1, 2. Очевидно, что l₁½½ l₂ Û ½½ , а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно

= = l . (*)

При этом, прямые будут совпадать Û у них есть общая точка M_o(x_o, y_o), т. е. если одновременно выполняется

A₁x_o + B₁y_o + C₁ = 0,

A₂x_o + B₂y_o + C₂ = 0.

Вычтем из первого равенства второе, домноженное на l :

(A₁– lA₂)x_o + (B₁– lB₂)y_o + C₁– lC₂ = 0.

В силу (*) обе скобки равны нулю Þ C₁– lC₂ = 0 Û C₁/C₂ = l. (**) Объединяя (*) и (**), получаем требуемый результат.

Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения прямых l₁ и l₂ пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число l, мы получим второе уравнение. Значит эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.

3, 4. Напомним, что углом между двумя прямыми называется меньший из двух углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол a между прямыми находится в пределах 0 £ a £ p/2.

Пусть b =Ð(, ). Тогда 0 £ b £ p.

Очевидно, что b совпадает с одним из двух углов, которые образуют прямые при пересечении.

1 случай: 0 £ b £ p/2. Тогда a = b Þ

cos a = cos b = .

2 случай: p/2 < b £ p. Тогда a = p – b и cos b < 0 Þ

cos a = cos (p – b) = – cos b =

=½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому

случаю: неотрицательную величину модулем не испортишь. Последнее равенство в (16) – эта та же формула, только расписанная в координатах. В частности, из (16) следует, что l₁^ l₂ Û · = 0 Û A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Упражнение 1. Прямые на плоскости могут быть заданы не только общим уравнением. После изучения темы «Взаимное расположение прямой и плоскости» вы легко напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, одна из которых задана каноническим или параметрическим уравнением, а вторая – общим уравнением.

Упражнение 2.Самостоятельно напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Теорема 2.Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом

l₁: y = k₁x + q₁, l₂: y = k₂ x + q₂.

Тогда угол между ними вычисляется по формуле

tg q = .

Доказательство. Пусть k₁= tg a₁, k₂ = tg a₂ , а q₁ и q₂ – углы, которые образуются при пересечении прямых (см. чертеж). Тогда q₁= b – a, и, если q₁£ p/2, то он будет считаться углом между l₁и l₂. В этом случае tg q₁³ 0.

Находим:

tg q₁= tg(b – a) = = .

Если q₁> p/2 , то между прямыми считается q₂ = p – q₁. Тогда

tg q₂ = tg(p – q₁) = – tg q₁=½tg q₁½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю.

Заметим, что если убрать в числителе модуль, то получится формула, по которой можно вычислить ориентированный угол от l₁ до l₂, (отсчитываемый против часовой стрелки). Данный угол может находиться в пределах – p £ q £ p.