Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.

<16 17 181920 21 22 >

Определение. Говорим, что общее уравнение прямой

Ax+By+C=0 , (14)

имеет нормальную форму, если A²+B² =1. Это равносильно тому, что вектор (A,B) – единичный.

Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на :

x+ y+ =0.

Тогда ²+ ²= 1.

Теорема 3. Пусть прямая l определяется уравнением (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M(x₁,y₁) до прямой вычисляется по формуле

h =½Ax₁+By₁+C½ . (17)

Следствие. Если прямая определяется произвольным уравнением вида (14), то

h = . (17¢ )

Доказательство. Пусть(A,B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то ½½=1. Пусть M_o(x_o,y_o) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN

на прямую l. Пусть a=Ð(,), b=ÐMM_oN.

1 случай. Точка M и вектор лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда

h =½MN½=½MM_o½·sinb=½½·sin(–a)=

=½½·cosa·½½=·

(мы домножили на ½½, поскольку эта величина равна единице). Находим, что (x₁– x_o,y₁– y_o) Þ

h=A(x₁– x_o)+B(y₁– y_o)=Ax₁+By₁+C–(Ax_o+By_o+C)

(мы добавили и отняли C). Поскольку M_oÎl, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем

h =Ax₁+By₁+C.

2 случай. Точка M и вектор лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда b=a– p/2 Þ sinb= –cosa и те же самые вычисления дают

h = –· = –Ax₁ –By₁ –C.

Поскольку h – это расстояние, то h³0. Это

значит, что во втором случае Ax₁+By₁+C<0 (равенство исключается, т.к. MÏl). Поэтому

h =½Ax₁+By₁+C½ .

Эта формула подойдет и к первому случаю.

Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax₁+By₁+C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M₁, M₂выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных (Û пересекает отрезок M₁M₂прямую l или нет).

§5. Уравнение прямой в полярных координатах.

Пусть на плоскости заданы прямая l и полярная система координат, OP – полярная ось. Опустим перпендикуляр ON из полюса на прямую l. Обозначим p=½ON½ – его длина, a – ориентированный угол между OP и ON. Пусть M(r,j) – произвольная точка прямой.

Тогда из DOMN находим

p=r·cos(a–j) или p=r·cos(j–a). (18)

Поскольку косинус четная функция, то достаточно только первого уравнения.

Обратно, если координаты точки M(r,j) удовлетворяют (18), то DOMN – прямоугольный Þ MÎl.

Итак, (18) представляет собой уравнение прямой в полярных координатах.

Введем теперь декартову СК так, чтобы Ox OP. Уравнение (18) можно переписать так:

rcosjcosa+rsinjsina– p=0.

Согласно формулам перехода r·cosj=x, r·sinj=y Þ

xcosa+ysina– p=0. (19)

Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Еще раз отметим геометрический смысл используемых в этом уравнении параметров: p – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а a – ориентированный угол между осью Ox и этим перпендикуляром. Поскольку cos²a+sin²a= =1, то это уравнение имеет нормальную форму, как это было определено в предыдущем параграфе.

Упражнение. Пусть две прямые заданы своими уравнениями в полярных координатах: l₁: p₁=r·cos(a₁–j), l₂: p₂=r·cos(a₂–j). Выпишите условия параллельности и совпадения этих прямых, а также найдите угол между ними. Найдите, чему равно расстояние между l₁и l₂, если они параллельны.

Пучок прямых.

Пусть две несовпадающие прямые на плоскости заданы своими общими уравнениями:

l₁: A₁x+B₁y+C₁=0 ,

l₂: A₂ x+B₂y+C₂=0 .

Рассмотрим совокупность всех прямых, которые задаются различными уравнениями вида

(lA₁+mA₂) x+(lB₁+mB₂) y+lC₁+mC₂=0, (20)

где l и m – числа не равные нулю одновременно. Это множество называется пучком прямых. Очевидно, при l=1, m=0 мы получим уравнение прямой l₁, а при l=0, m=1 – уравнение прямой l₂. Таким образом, прямые l₁и l₂ тоже входят в пучок.

Теорема 4. 1.Если прямые l₁и l₂ пересекаются в точке M_o, то определяемый ими пучок прямых, состоит из всех прямых, проходящих через M_o.

2. Если l₁½½ l₂ , то определяемый этими прямыми пучок состоит из всех параллельных им прямых.

Доказательство. 1.Перепишем (20) в виде

l(A₁x+B₁y+C₁) +m(A₂ x+B₂ y+C₂)=0. (20¢)

Пусть M_o(x_o,y_o)= l₁Il₂. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Подставим ее координаты в (20¢):

l(A₁x_o+B₁y_o+C₁) +m(A₂ x_o+B₂ y_o+C₂)=0.

Поскольку обе скобки должны быть равны нулю, то мы получаем верное равенство независимо от l и m. Таким образом, все прямые пучка (20) проходят через M_o.

Покажем, что в пучок входят все прямые, проходящие через M_o. Пусть M(x₁,y₁) – произвольная точка плоскости, отличная от M_o. Подставим ее координаты в (20¢) и обозначим

X=A₁x₁+B₁y₁+C₁, Y= A₂ x₁+B₂ y₁+C₂.

Получим уравнение

lX+mY=0 (*)

относительно неизвестных l и m. Это уравнение всегда имеет решение (l_o,m_o). При l=l_o и m=m_o уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.

2. Пусть l₁½½ l₂ . Тогда выполнено

= = k .

Пусть l – произвольная прямая из пучка (20). Применим к ней признак параллельности с прямой l₂:

= Û l+m =l+m Û lk+m = lk+m ,

т.е. имеем верное равенство. Значит l½½ l₂ .

Покажем, что в пучок входят все прямые параллельные l₁ и l₂. Пусть M(x₁,y₁) – произвольная точка плоскости, не лежащая ни на l₁ , ни на l₂. Подставив ее координаты в (20¢) также получим уравнение (*) относительно неизвестных l и m , где X и Y оба ненулевые. При l и m, удовлетворяющих (*) уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.

Если все прямые пучка пересекаются в точке M_o, то точка M_o называется центром пучка, и пучок прямых называется собственным или центральным. Если все прямые пучка параллельны друг другу, то пучок называется нецентральным или несобственным.