Координаты вектора и точки в пространстве.

Пусть в пространстве заданы три некомпланарных вектора , , . Назовем их базисными, а тройку B = {, , } – базисом. Пусть O – произвольная точка. Четверку R = {O, , , } назовем аффинным репером в пространстве. Пусть – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O:

= , = ,

= , = .

Проведем прямые l₁ = OA, l₂ = OB, l₃ = OC. Построим параллелепипед так, чтобы три его ребра лежали на этих прямых, а точка D была вершиной. Пусть A₁, B₁, C₁ – вершины параллелепипеда, лежащие на прямых l₁, l₂, l₃, а D₁ – четвертая вершина основания. Пусть

= , = , = , = .

Тогда = , и по правилу треугольника = + . А по правилу параллелограмма = + . Значит, = + + . Но ||, ||, ||, и по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа x₁, x₂, x₃, что = x₁, = x₂, = x₃ Þ

= x₁ + x₂ + x₃ . (5)

Это выражение называется разложением векторапо базисуB. Числа x₁, x₂, x₃ называются координатами вектора в этом базисе. Они же называются координатами точки D относительно репераR. Пишем (x₁, x₂, x₃ )_B , D(x₁, x₂, x₃ )_R . Репером также называют четверку точек {O, A, B, C}.

Вектор называется радиус-вектором точки D в данном репере. Таким образом, по определению координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Точка O называется началом координат, прямые l₁, l₂, l₃, вместе с выбранными на них направленными отрезками , , , называются координатными осями, а совокупность координатных осей и начала называется аффинной системой координат в пространстве. Иногда репером называют четвёрку точек {O, A, B, C}, не лежащих в одной плоскости.

Если мы выберем другое начало координат, то та же самая точка D будет задаваться другим радиус-вектором Þ ее координаты изменятся. Координаты же вектора не зависят от выбора начала координат. Действительно, пусть имеем еще одно разложение

= y₁ + y₂ + y₃, (5' )

где, например, y₃ ≠ x₃ . Вычтем (5' ) из (5):

= (x₁ – y₁) + (x₂ – y₂) + (x₃ – y₃), Þ

= + .

Значит, вектор лежит в одной плоскости с векторами и . А мы с самого начала предполагали, что векторы , , некомпланарны. Противоречие. Значит, y₃ = x₃ . Аналогично доказывается, что y₂ = x₂, y₁ = x₁.

Так же, как и на плоскости доказывается, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А для того, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца отнять координаты начала.

Если векторы , , единичные и взаимно ортогональные, то базис Bи репер R называются ортонормированными. Если, к тому же, векторы , , образуют правую тройку, то СК называется декартовой. В этом случае приняты обозначения базисных векторов i, j, k ; координат – x, y, z; координатных осей – Ox, Oy, Oz; направленных отрезков на осях – OE₁, OE₂, OE₃.

Векторы i, j, kназываются базисными ортами.

Так же, как и на плоскости доказывается, что в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.

Пусть a =Ð( i, ), b =Ð( j, ), g =Ð( j, ). Тогда величины cos a, cos b, cos g называются направляющими косинусами вектора .

Они обладают свойством: cos²a + cos²b + cos²g = 1.

Теорема 1¢. (второй признак коллинеарности векторов).

Для того, чтобы два ненулевых вектора на плоскости или в пространстве были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны ( (a₁, a₂, a₃)½½ (b₁, b₂, b₃) Û = = ).

Доказательство. Согласно первому признаку коллинеарности векторов || Û $l: = l Û a₁= lb₁, a₂ = lb₂, a₃ = lb₃ Û Û == = l .

§9. Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть точка C лежит на отрезке AB. Говорим, что C делит отрезок AB в отношении l₁:l₂ , если

= Û l₂½AC½= l₁½CB½.

Учитывая, что ­­ , последнее равенство можно переписать так:

l₂ = l₁. (6)

Теперь мы введем обобщение нашего определения, и будем говорить, что точка C делит отрезок AB в отношении l₁:l₂ , если выполнено (6). Такое определение означает, что C может лежать на прямой AB за пределами отрезка AB, если l₁:l₂ отрицательно. Число l = l₁/l₂ ( = l) называется простым отношением точек A, B, C и обозначается (AB, C) или (ABC).

Пусть нам известны координаты концов отрезка: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂). Требуется найти координаты точки C(x, y, z), которая делит этот отрезок в отношении l₁:l₂. Самостоятельно выведите из равенства (6), что

x= , y= , z= .

Эти формулы также будут доказаны на практических занятиях. В частности, если C делит отрезок AB пополам, то

x = , y = , z = .

§10. Векторное произведение.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор , что

1. ^ , ^ ;

2.тройка (, , ) – правая;

3.½½= ½½ ½½sinÐ( , ).

Пишем = ´ (используется также обозначение = [, ] ).

Чрезвычайно распространена на экзамене следующая ошибка. В ответ на вопрос: «Дайте определение векторного произведения» студенты пишут только п^о3 определения, к тому же, зачастую, опуская модуль у . Такой ответ классифицируется как полное отсутствие ответа. Невозможно определить вектор, задав только его длину. Необходимо задать еще его направление. П^о1 указывает, что вектор ´ направлен по общему перпендикуляру к и . Но таких векторов заданной длины можно найти два. Поэтому необходим еще и п^о2.

Теорема 4. Модуль векторного произведения двух векторов и численно равен площади параллелограмма, построенного на направленных отрезках и , представляющих

эти векторы, отложенные из одной точки.

Доказательство. S =½½½½ sinÐAOB =

=½½½½sinÐ(, ) = ½ ´ ½.

Следствие. ´ = Û ½½ .

В частности, для любого вектора выполнено ´ = .

Действительно, ´ = Û S = 0 Û стороны параллелограмма параллельны, либо длина одной из них равна нулю. Поскольку нулевой вектор считается коллинеарным любому, то это равносильно ½½ .