Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
Пусть в пространстве задана декартова СК, i, j, k –базисные орты. Пусть (a1, a2, a3), (b1, b2, b3). В соответствии со свойствами скалярного произведения мы можем при скалярном умножении векторов раскрывать скобки, как при умножении чисел. Поэтому
· = (a1i + a2j + a3k)·(b1i + b2j + b3k) = a1b1i·i + a1b2 i·j + a1b3 i·k +
+ a2b1j·i + a2b2 j·j + a2b3 j·k + a3b1k·i + a3b2 k·j + a3b3k·k.
Нам известно, что i, j, k– единичные и взаимно ортогональные Þi·i = = j·j = k·k = 1,i·j = i·k = j·k = 0, и это же верно для произведений в другом порядке. Поэтому
· = a1b1 + a2b2 + a3b3 . (7)
Þ 2 = ·= a12+ a22+ a32 (8)
Þ ½½= = (9)
Þ cosÐ(, ) = =. (10)
Если A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) Þ
½½= . (11)
Обозначим r(A, B) – расстояние между точками A и B. Тогда r(A, B) вычисляется по той же формуле (11). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:
1. r(A, B) = r(B, A);
2. r(A, B) + r(B, C) ³ r(A, C) (неравенство треугольника);
3. r(A, B) ³ 0, и r(A, B) = 0 Û A = B.
В дальнейшем нам понадобится понятие определителя и его свойства. Этот материал входит в курс высшей алгебры, но изучается, как правило, позже, чем векторное произведение. Поэтому необходимые сведения об определителях 2 и 3 порядка приведены в Приложении к данному курсу лекций. Рекомендуется почитать Приложение, прежде чем продолжить изучение текущего параграфа.
Теорема 5. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой СК: (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3), вычисляется по формуле:
(12)
= (a1b2 – a2b1)i – (a1b3 – a3b1)j + (a2b3 – a3b2)k.
Доказательство. Обозначим – это вектор, который вычисляется по этой формуле. Мы докажем, что он удовлетворяет всем условиям в определении векторного произведения.
1. С одной стороны
½½2= (a2b1– a3b1)2 + (a1b3 – a3b1)2 + (a2b3 – a3b2)2 (*),
А с другой стороны
(½½½½sinÐ(, ))2 = ½½2½½2sin2Ð(, ) =½½2½½2(1 – cos2Ð(, )) =
=½½2½½2– ½½2½½2cos2Ð(, ) =½½2½½2– ( · )2 =
= (a12+ a22+ a32) · (b12+ b22+ b32 ) – (a1b1 + a2b2 + a3b3)2. (**)
Самостоятельно раскройте скобки в (*) и (**), и убедитесь, что эти выражения совпадают.
2. · = (a1i + a2j + a3k) ·( )
так как в определителе есть две одинаковые строки. Значит ^ . Ана-логично доказывается, что ^.
3.Если ½½ , то строки в определителе пропорциональны и наша формула дает нулевой вектор. Пусть и неколлинеарны. Выберем СК таким образом, чтобы Ox, а Oy лежала в одной плоскости с и , причем положительное ее направление указывало в ту же полуплоскость, что и . Ось Oz после этого определяется
однозначно. Тогда (a1,0, 0), (b1, b2, 0), причем, a1> 0, b2> 0. Согласно формуле (12) получаем = a1b2k, причем, a1b2> 0. Значит Oz, и из чертежа видим, что тройка (, , ) – правая.
Итак, вектор, который вычисляется по нашей формуле удовлетворяет всем пунктам в определении векторного произведения.
Следствие 1. ´ = – ´.
Действительно, по свойству определителя, при перестановке двух строк изменяется знак:
Следствие 2. (l )´ = l( ´ ).
Действительно, по свойству определителя, общий множитель элементов одной строки выносится за знак определителя:
Следствие 3. ´( + ) = ´ + ´.
Действительно, по свойствам определителя
Следствие 4. i´j = k, k´i = j, j´k = i.
Докажите это самостоятельно с помощью формулы (12).
Все эти равенства удобно запоминать с помощью диаграммы. Произведение двух ортов взятых подряд по кругу дает третий орт, а в обратном направлении – третий со знаком «–».
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 618;