Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Общий вид уравнения с разделяющимися переменными имеет вид:
P1(x)Q1(y)dx + P2(x)Q2(y)dy =0.
Дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных.
После почленного деления уравнения на Q1(y)P2(x) ¹ 0 получается дифференциальное уравнение с разделенными переменными, т.е. появляется возможность его интегрирования. После интегрирования получаем общее решение дифференциального уравнения:
,
где с – произвольная постоянная.
При проведении почленного деления дифференциального уравнения на Q1(y)P2(x) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q1(y)P2(x) = 0 и установить решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего уравнения. Они называются особыми решениями.
Уравнение y′ = f(ax + by + c), где а, b, с – действительные числа, сводится к уравнению с разделяющимися переменными после замены переменных ax + by + c = u. После дифференцирования a + by¢ = u¢, a + bf(u) = u¢, получим уравнение .
@ Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
2yxdx – (1 + x²)dy = 0.
Решение: После почленного деления уравнения на y(1 + x²) получаем: , которое легко интегрируется: ln/y/ – ln(1 + x²) = ln/c/. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y = с(1 + x²).
Уравнение y(1 + x²) = 0 позволяет найти особое решение дифференциального уравнения: y = 0.
@ Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:
при y(1) = 1.
Решение: После почленного деления уравнения на y получаем: . Остается только интегрировать уравнение: ln/y/ + ln/x/ = ln/c/. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , а частное решение равно .
Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1865;