Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными


Общий вид уравнения с разделяющимися переменными имеет вид:

P1(x)Q1(y)dx + P2(x)Q2(y)dy =0.

Дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных.

После почленного деления уравнения на Q1(y)P2(x) ¹ 0 получается дифференциальное уравнение с разделенными переменными, т.е. появляется возможность его интегрирования. После интегрирования получаем общее решение дифференциального уравнения:

,

где с – произвольная постоянная.

При проведении почленного деления дифференциального уравнения на Q1(y)P2(x) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q1(y)P2(x) = 0 и установить решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего уравнения. Они называются особыми решениями.

Уравнение y′ = f(ax + by + c), где а, b, с – действительные числа, сводится к уравнению с разделяющимися переменными после замены переменных ax + by + c = u. После дифференцирования a + by¢ = u¢, a + bf(u) = u¢, получим уравнение .

@ Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

2yxdx – (1 + x²)dy = 0.

Решение: После почленного деления уравнения на y(1 + x²) получаем: , которое легко интегрируется: ln/y/ – ln(1 + x²) = ln/c/. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y = с(1 + x²).

Уравнение y(1 + x²) = 0 позволяет найти особое решение дифференциального уравнения: y = 0.

@ Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:

при y(1) = 1.

Решение: После почленного деления уравнения на y получаем: . Остается только интегрировать уравнение: ln/y/ + ln/x/ = ln/c/. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , а частное решение равно .



Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1858;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.