Дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее первую производную y′:

F(x; y; y′) = 0. (1)

Пример: xy′ + ylny′ = 0.

Если уравнение (1) разрешается относительно y′, то его записывают в виде y′ = f(x; y) (2) и оно называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной y′.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме: P(x; y)dx + Q(x; y)dy = 0. (3)

Уравнение вида (2) сводится к уравнению дифференциальной формы (3) следующим образом:

, dy = f(x; y)dx, f(x; y)dx – dy = 0.

Обратный переход из (3) в (2) производится делением уравнения (3) на dx: .

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = φ(x; c), которая является решением уравнения при каждом фиксированном значении постоянной с.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = φ(x; c₀), удовлетворяющая начальному условию . (4)

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Если в уравнении (2) функция f(x; y) и ее частная производная f¢_y(x, y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x₀, y₀), то существует единственное решение y = φ(x; c₀) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (4).