Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(уравнения Эйлера)
Рассмотрим равновесие жидкости (рис. 11). Возьмем точку А и выделим около нее прямоугольный параллелепипед со сторонами , , . Обозначим внешние силы, отнесенные к единице массы через . Внешними силами здесь будут:
- объемные, пропорциональные массе параллелепипеда;
- силы гидростатического давления, действующие на грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости.
Рисунок 11 – К выводу уравнений Эйлера
Рассмотрим сначала силы, действующие на жидкий параллелепипед по оси х.
Проекция объемных сил на ось х будет равна:
;
Следовательно, проекции объемных сил на все оси:
Гидростатическое давление в точке Вобозначим , а в точке С – через . Если давление изменяется по линейному закону и непрерывно, тогда:
; ,
где – градиент гидростатического давления;
р – давление в точке А.
Силы, действующие на грани, равны:
;
.
Составим уравнение равновесия исследуемого нами жидкого объема относительно оси x:
;
Уравнение равновесия после подстановки и преобразования сможем записать в виде:
Окончательно уравнение равновесия относительно оси х будет иметь вид:
Аналогично получим уравнение равновесия относительно осей y и z и запишем полную систему уравнений, которые называются уравнениями Эйлера.
Впервые они были выведены в 1775 г. и выражают закон распределения гидростатического давления в дифференциальной форме.
Для дальнейшего преобразования умножим каждое из уравнений системы на соответственно
а сложив их почленно, получим следующее выражение:
.
Левая часть представляет полный дифференциал давления dp функции . А так как левая часть – полный дифференциал функции, то и правая тоже. Только в этом случае уравнение может иметь смысл. Для этого
необходимо, чтобы существовала функция , производные которой были равны:
; ; .
Функция и обратная ей функция называются потенциальными. Следовательно, поле массовых сил потенциальное или ,где функция выражает потенциальную энергию поля массовых сил (сил тяжести и инерции).
Интегрируя функцию для несжимаемой жидкости, получаем:
или
где С – постоянная интегрирования.
Для двух точек одного и того же объема данной однородной несжимаемой жидкости уравнение записывается в виде:
.
Дадим определение поверхности равного давления: это поверхность, проведенная в покоящейся жидкости таким образом, что давление во всех ее точках одинаково, т. е. . Поверхности равного давления обладают следующими основными свойствами:
- построенные для различных гидростатических давлений, они не имеют общих точек, т. е. не пересекаются;
- они всегда нормальны к направлению равнодействующей внешних объемных сил, приложенных к жидкости.
Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1935;