Сходящиеся последовательности, их свойства

Определение 1. Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если для всех выполняется неравенство .

Определение 2. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для всех выполняется неравенство .

Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют также строго монотонными последовательностями.

Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.

Пример 1. Последовательность возрастает, не убывает, убывает, не возрастает, – немонотонная последовательность.

Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая

Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство. Пусть последовательность не убывает и ограничена сверху, т.е. и множество ограничено сверху. По теореме 1 § 2 существует . Докажем, что .

Возьмем произвольно. Поскольку а – точная верхняя граница, существует номер N такой, что . Так как последовательность неубывающая, то для всех имеем , т.е. , поэтому для всех , а это и означает, что .

Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно). Теорема доказана.

Замечание. Теорему 1 можно сформулировать иначе.

Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.

Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность не монотонная, однако сходится к нулю.

Следствие. Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то ( ).

Действительно, по теореме 1 ( ).

Определение 4. Если и при , то последовательность называется стягивающейся системой вложенных отрезков.

Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точка с, принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство. Докажем, что точка с существует. Поскольку , то и, следовательно, последовательность не убывает, а последовательность не возрастает. При этом и ограничены, так как . Тогда по теореме 1 существуют и , но так как , то = . Найденная точка с принадлежит всем отрезкам системы, так как по следствию теоремы 1 , , т.е. для всех значений n.

Покажем теперь, что точка с – единственная. Предположим, что таких точек две: с и d и пусть для определенности . Тогда отрезок принадлежит всем отрезкам , т.е. для всех n, что невозможно, так как и, значит, начиная с некоторого номера, . Теорема доказана.

Отметим, что здесь существенно то, что рассматриваются замкнутые промежутки, т.е. отрезки. Если рассмотреть систему стягивающихся интервалов, то принцип, вообще говоря, неверен. Например, интервалы , очевидно, стягиваются в точку , однако точка не принадлежит ни одному интервалу этой системы.

Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.

1) Число е.

Рассмотрим теперь последовательность . Как она себя ведет? Основание

степени , поэтому ? С другой стороны, , а , поэтому ? Или предел не существует?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность . Докажем, что она убывает и ограничена снизу. При этом нам будет нужна

Лемма. Если , то для всех натуральных значений n имеем

(неравенство Бернулли).

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции.

Если , то , т.е. неравенство верно.

Предположим, что оно верно для и докажем его справедливость для +1.

Верно . Умножим это неравенство на :

.

Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значений n. Лемма доказана.

Покажем, что последовательность убывает. Имеем

‌‌‌׀неравенство Бернулли׀ ,а это и означает, что последовательность убывает.

Ограниченность снизу следует из неравенства ‌‌‌׀неравенство Бернулли׀ для всех натуральных значений n.

По теореме 1 существует , который обозначают буквой е. Поэтому .

Число е иррационально и трансцендентно, е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.

Замечания. 1) Неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, что при . Действительно, если , то . Тогда, по неравенству Бернулли, при . Отсюда при имеем , то есть при .

2) В рассмотренном выше примере основание степени стремится к 1, а показатель степени n – к , то есть имеет место неопределенность вида . Неопределенность такого вида, как мы показали, раскрывается с помощью замечательного предела .

2) (*)

Докажем, что эта последовательность сходится. Для этого покажем, что она ограничена снизу и не возрастает. При этом воспользуемся неравенством для всех , которое является следствием неравенства .

Имеем |см. неравенство выше| , т.е. последовательность ограничена снизу числом .

Далее, |так как | , т.е. последовательность не возрастает.

По теореме 1 существует , который обозначим х. Переходя в равенстве (*) к пределу при , получим

, т.е. , откуда (берем знак «плюс», так как все члены последовательности положительны).

Последовательность (*) применяется при вычислении приближенно. За берут любое положительное число. Например, найдем . Пусть . Тогда , . Таким образом, .

3) .

Имеем . Поскольку при , существует номер N, такой, что для всех выполняется неравенство . Таким образом, последовательность , начиная с некоторого номера N, убывает и ограничена снизу, так как для всех значений n. Значит, по теореме 1 существует . Поскольку , имеем .

Итак, .

4) , справа – n корней.

Методом математической индукции покажем, что для всех значений n. Имеем . Пусть . Тогда , отсюда получаем утверждение по принципу математической индукции. Используя этот факт, находим , т.е. последовательность возрастает и ограничена сверху. Поэтому существует , так как .

Таким образом, .