Арифметические операции над функциями. Композиция функций

Определение 1. Пусть функции f и g заданы на множестве . Суммой функций f и g называется функция , значение которой в точке определяется как сумма значений функций f и g в этой точке, то есть

.

Аналогично определяется разность

Произведение

,

частное функций, если ,

.

Определение 2. Пусть действительная функция f задана на множестве Х, а действительная функция g – на множестве . Тогда существует композиция отображений , которая является действительной функцией, заданной на множестве Х и называемой композицией действительных функций f и g или сложной функцией.

Заметим, что сложную функцию можно записать в виде цепочки функций . Переменную у в этом случае обычно называют промежуточной переменной. Заметим также, что термин «сложная функция» характеризует не сложность функции, а способ ее задания. Например, функция или - сложная функция, а тождественная ей функция уже не является сложной.

Пример 1. Если , то , .

Может получиться так, что множество не является подмножеством множества Y. В этом случае сложная функция определена лишь для тех х, для которых .

Пример 2. Пусть . Тогда . Здесь задана на множестве задана на и . Сложная функция рассматривается для х таких, что , то есть .

Пример 3. Функции и не определяют функции , так как определена для , а для всех .

Пример 4. (Решить самостоятельно). Пусть и . Найти следующие функции и указать их области определения: .