Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (3.21) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1) D = 0 – плоскость Ax+By+Cz = 0 проходит через начало координат.

Пример 3.4.

Постройте плоскость .

Решение. При z=0 в плоскости Oxy получим уравнение прямой y = -x, также легко выяснить, что плоскость проходит через точку (0, 1, 2). Тогда плоскость имеет вид (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Плоскость, проходящая через начало координат

2) А = 0 – n=(0,B,C) Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3) В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

Пример 3.5.

Постройте плоскость .

Решение.

Заданная плоскость параллельна оси Oy, так как B = 0. В плоскости Oxz получим уравнение прямой z = 2x-4. Тогда плоскость имеет вид (рис. 3.3).

Рис. 4.3. Плоскость параллельная оси Oy

4) С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5) А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6) А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

Пример 3.6.

Постройте плоскость .

Рис. 3.4. Плоскость параллельная плоскости Oyz

7) B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz (рис. 3.4).

8) А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9) B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10) C = D = 0 – плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11) A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12) A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13) B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

(3.22)

называемому уравнением плоскости в отрезках. Способ преобразования показан в предыдущем разделе. Параметры а, b и с равны длинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Пример 3.7.

Постройте плоскость .

Решение.

. То есть а = 3, b = 2 и с = –6.

Рис. 3.5. Уравнение плоскости в отрезках

Замечание: подчеркнем, что плоскость тянется бесконечно во все стороны за нарисованные линии, ограничивающие треугольник.