Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Если две плоскости (П₁ и П₂) заданы общими уравнениями вида: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n₁ = (A₁,B₁,C₁) и n₂ = (A₂,B₂,C₂) (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Угол между плоскостями

Из формулы скалярного произведения получаем, что косинус угла между плоскостями П ₁ и П ₂ равен

(3.23)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

(3.24)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0. (3.25)

Выведем еще несколько уравнений плоскости.

Пусть плоскость проходит через точки М₁(х₁, у₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой.

Тогда векторы = (x₂– x₁, y₂– y₁, z₂– z₁), = (x₃– x₁, y₃– y₁, z₃– – z₁) и = (x – x₁,y – y₁,z – z₁), где М(x,y,z) – произвольная точка плоскости, компланарны.

Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

(3.26)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Способом аналогичным изложенному в предыдущем разделе расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле

, (3.27)

где x^*, y^*, z^* – координаты рассматриваемой точки М.