Уравнение прямой на плоскости

Линии на плоскости и их уравнения

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия l.

Определение 1. Уравнение

F(х,у) = 0 (3.1)

называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии l, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии l.

Пример 3.1.

(х – а)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).

Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии:

, (3.2)

где функции и непрерывны по параметру t.

Уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М₀(x₀,y₀) перпендикулярно вектору n=(А,B). Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0, (3.3)

которое является уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

Преобразуем уравнение (3.3) к виду:

Ах + Ву + (–Ах₀ – Ву₀) = 0.

Обозначив –Ах₀ – Ву₀ = С, получим общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0. (3.4)

Теперь получим уравнение прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀) параллельно вектору s=(m,n). Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен s, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

, (3.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор s при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (3.5) следует:

(3.6)

– уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример 3.2.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1,2) и N(5,–3). Уравнение (3.6) примет вид:

– общее уравнение прямой.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (3.5), можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x₀ +mt, y = y₀ + nt (3.7)

это параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение прямой в виде:

у = kx + b (3.8)

это уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Действительно, все точки прямой l₁, параллельной l и проходящей через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них на постоянную величину b.

Неполные уравнения прямой.

Определение 3.2.1. Уравнение (3.4) называется полным, если коэффициенты А, В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой:

1) С = 0 – прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2) В = 0 – прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой (A,0) перпендикулярна оси Оу).

3) А = 0 – прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4) В = С = 0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5) А = С = 0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

Таким образом, прямая, задаваемая полным уравнением, не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям.

Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом:

Ах + Ву + С = 0 |:(–C),

(3.9)

где и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Поэтому уравнение (3.9) называют уравнением прямой в отрезках.