Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и косинус угла между ними можно найти по формуле:

(3.32)

Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью, определяемой общим уравнением Ax+By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

(3.33)

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и s:

Am + Bn + Cp = 0, (3.34)

а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов:

A/m = B/n = C/p. (3.35)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и то

1) если , то есть вектора s₁, s₂и не лежат в одной плоскости, то прямые скрещиваются;

2) если D = 0 и s₁и s₂не коллинеарные, то прямые пересекаются, в частности, если - прямые перпендикулярны;

3) если D = 0 и s₁||s₂и не коллинеарные , то прямые параллельны, то есть

; (3.36)

4) если D = 0 и s₁||s₂ || , то прямые совпадают.