Аналитическое представление проективных преобразований


Любое проективное преобразование однозначно определяется парой реперов R(Е1 , Е2 , Е3 , Е) и R′(Е1 , Е2 , Е3 , Е′). Так как реперы заданы, тогда можно найти преобразование координат при переходе от одного репера к другому, т.е. можно найти матрицу А причем она не вырождена (почему?).

Формулы преобразования координат одной и той же точки Х будут:

λ ХR =AXR и μ XR = А-1ХR (*)

Пусть f (Х) = Х ', причем ХR и Х 'R′ .

Найдем координаты точки Х ' в репере R:λ Х 'R =AХ 'R .

Таким образом, λ Х 'R =AХR , тогда μ Х = A-1f (Х) (**)

(Почему существует обратная матрица?)

Замечание: Хотя формулы (*) и (**) вроде бы одинаковые, необходимо помнить, что в (*) одна и та же точка в разных реперах, в (**) две разные точки (образ и прообраз) в одном репере.

Матрица, задающая преобразование координат для двух данных реперов R(Е1 , Е2 , Е3 , Е) и R′(Е1 , Е2 , Е3 , Е′) единственна (с точностью до пропорциональности). Отсюда следует, что проективное преобразование задает единственную матрицу A (с точностью до пропорциональности).

Теорема. Если на Р2 задано отображение формулами (**), тогда это отображение является проективным преобразованием.

Доказательство. Пусть f : Р2 Р2 , так что λ f (Х)=AХ.

Рассмотрим точки репера Е1 , Е2 , Е3 , Е , их образы обозначим

Е1 , Е2 , Е3 , Е′. Необходимо и достаточно доказать что точки

Е1 , Е2 , Е3 , Е′ образуют новый репер (т.е никакие три не лежат на одной прямой и он согласован).

Пусть матрица A = ,тогда Е′1= f (Е1)= = ,

Е′2= f (Е2)= = , Е′3=f(Е3)= = , Е′=f(Е)= =

Е1 , Е2 , Е3 - не лежат на одной прямой, так как ≠0 (почему?),

То же самое можно сказать о тройках: Е1 , Е2 , Е′, Е1 , Е3 , Е′, Е2 , Е3 , Е′.

Т.к., Е1 + Е2+ Е3= Е′ - есть согласованность (проверьте).

Таким образом, f : R(Е1 , Е2 , Е3 , Е) → R′(Е1 , Е2 , Е3 , Е′), а значит f - есть проективное преобразование. □

Вывод: Проективное преобразование однозначно определяется формулами (**), то есть матрицей A. Поэтому это тоже можно считать определением проективного преобразования.

Определение: Композицией двух проективных преобразований f : Х → Х′ и g : Х′ → Х′′ будем называть последовательное выполнение преобразований сначала f затем g.

Обозначение: f ◦ g

При этом f : RR′ и g : R′ → R′′ , значит f ◦ g : RR′′, т.о., f◦g - проективное преобразование.

(почему?).

Пусть f задается матрицей A, а g задается матрицей В.

Тогда f◦g(Х)=f(g(Х))=f(Х)=В(Х)=В·A·Х,

таким образом матрицей преобразования f◦g является матрица В·A, причем она не вырождена. (почему?).

 

 

Определение: Преобразование, оставляющее все точки плоскости на месте, называется тождественным.

Тождественное преобразование задается матрицей – Е.

Определение: Обратным преобразованием для f : Х → Х′ будет преобразование f -1: Х′ → Х .

Если f : RR′ ,

тогда f -1 : R′ → R.

 

 

f -1 - проективное преобразование (почему?).

f -1 будет задаваться - А-1 (почему?).

Теорема. Множество П - проективных преобразований является группой относительно операции композиция.

Доказательство. Самостоятельно.

Теорема. Проективное преобразование прямой образует подгруппу в группе проективных преобразований - П.

Доказательство. Самостоятельно.

Виды проективных преобразований:

1. Инволюция – нетождественное проективное преобразование , совпадающее со своим обратным: f = f -1.

2. Коллинеация - проективное преобразование, при котором прямая переходит в прямую, точка переходит в точку.

3. Корреляция - проективное преобразование, при котором прямая переходит в точку, точка переходит в прямую.

4. Гомология - проективное преобразование, имеющее по крайней мере три неподвижных точки принадлежащие одной прямой.

5. Центральное проектирование.

 

Множество коллинеаций образует подгруппу в группе проективных преобразований. Подгруппа коллинеаций сама имеет несколько подгрупп. Эта идея («групповая») была положена в основу классификации геометрических преобразований Феликсом Клейном в 1872 году в работе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований». Другое название этой работы - «Эрлангенская программа».

Геометрия – это учение о геометрических преобразованиях и каждая геометрия характеризуется соответствующей группой преобразований. Предметом геометрии являются те свойства фигур, которые инвариантны при преобразованиях данной группы.

Евклидова геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях - Д (длины, углы). Аффинная геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при аффинных преобразованиях - А (простое отношение точек, параллельность прямых). Проективная геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при проективных преобразованиях - П (сложное отношение точек, инцидентность, точка, прямая, пучок, репер, квадрики).

Д А П

Перспектива

Определение: Центральной проекцией или перспективой прямой на прямую ' из точки S называется отображение при котором каждой точке А прямой ставится в соответствие точка А'прямой ℓ' такая что А'= ' ∩ ().

Свойства:

1. Перспектива является взаимнооднозначным отображением в силу того, что любые две прямые имеют одну и только одну общую точку.

2. При перспективе сохраняется сложное отношение четырёх точек лежащих на одной прямой (по свойствам сложного отношения).

3. Если обозначить ℓ' = М , тогда точка М отображается сама в себя, т.е. при перспективе прямой на прямую точка пересечения этих прямых переходит сама в себя.

Доказательство. Пусть М → М′ ≠ М,

по определению М ′=()∩', но М М = '∩(). □

Теорема1. Для того, чтобы отображение прямой на прямую было перспективой необходимо и достаточно чтобы при этом отображении точка пересечения этих прямых переходила в себя.

Доказательство. Необходимость следует из свойства (3).

Достаточность: φ: 12 и М : φ(М)=М, причем М= ℓ12 .

Возьмем точки А1 , В1 1 , найдем φ(А1)=А2 и φ(В1)=В2 2 .

Таким образом φ : А1 , В1 , М А2 , В2 , М , причем это отображение единственное, но (А1В1)∩(А2В2)=S - единственная точка. Отсюда следует, что существует перспектива прямой 1 на прямую 2 из точки S .

Так как отображение единственное - это и есть перспектива. □

Теорема 2. Пусть даны две тройки точек: А1, В1, С1 1 и А2, В2, С2 2 , причем в каждой тройке точки различны, тогда φ : 12 , такое что φ(А1)=А2 , φ(В1)=В2 , φ(С1)=С2.

Доказательство. Докажем построением. Возможны два случая.

1 случай: 12 .

1. Проводим прямую (А1А2) и берем на ней две произвольные точки S1 и S2 отличные от А1 и А2 .

2. В0 =(S1В1)∩(S2В2), С0 =(S1С1)∩(S2С2), А0 =(В0С0)∩(S1S2),

3. Рассмотрим отображения φ1 : 1 → (В0С0) - перспектива с центром S1 и φ2 : (В0С0) → 2 - перспектива с центром S2, тогда искомое проективное преобразование φ = φ2 ◦ φ1 . так как φ1 и φ2 - проективные преобразования, то φ - тоже проективное преобразование.

4. М0 =(S1М1)∩(В0С0), М2 =(S2М0)∩2 - образ точки М1.

 

2 случай 1 = 2 .

1. Проводим произвольную прямую 3 , берем произвольную т. S3 не инцидентную прямым 1 и 3 .

2. А3=(S3А1)∩3 ,

В3=(S3В1)∩3 ,

С3=(S3С1)∩3 .

3. Проводим прямую (А2А3) и берем на ней две произвольные точки S1 и S2 отличные от А2 и А3 .

4. С0 =(S1С3)∩(S2С2), В0 =(S1В3)∩(S2В2), А0 =(В0С0)∩(S1S2).

5. Рассмотрим отображения:

φ3 : 13 - перспектива с центром S3

φ1 : 3 → (В0С0) - перспектива с центром S1

φ2 : (В0С0) → 1 = 2 - перспектива с центром S2,

тогда искомое проективное преобразование

φ = φ2 ◦ φ1 ◦ φ3 .

6. М3=(S3М1)∩3, М0 =(S1М3)∩(В0С0), М2 =(S2М0)∩1 .

 

Вывод: Проективное отображение прямой на прямую задается двумя тройками различных точек.

 

Вывод:Любое проективное отображение прямой можно разложить на композицию не более трех перспектив:

1. Если 1 = 2 - три перспективы.

2. Если 12 - не более двух перспектив.

3. Если 12 и (А1А2)∩(В1В2)∩(С1С2)= S - одна перспектива с центром в точке S.

 



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 408;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.027 сек.