Отображение пучка в пучок


Рассмотрим отображение двойственное перспективе прямой на прямую:

Определение: Перспективой пучка в пучок с осью s называется отображение φ : П(L1) → П(L2), при котором каждой прямой а1 пучка П(L1) ставится в соответствие прямая а2 пучка П(L2) такая что прямые а1 и а2 пересекаются в точке инцидентной оси s.

В силу принципа двойственности будут выполняться все свойства перспективы прямой на прямую (сформулировать самостоятельно).

Замечание: Перспектива пучка в пучок тоже является проективным преобразованием.

Теорема. Пусть даны два пучка П(L1) и П(L2). В каждом пучке отмечены три различные прямые а1 , b11 П(L1) и а2 , b2 , с2 П(L2). тогда существует единственное проективное отображение f : П(L1) → П(L2), при котором прямые а1 , b11 переходят в прямые а2 , b2 , с2.

Доказательство. Самостоятельно.

Построение перспективы пучка в пучок.

1 случай: П(L1) ≠ П(L2).

1. А = а1 ∩ а2 , через точку А проводим две прямые - s1 и s2

2. s1∩b11 и s1∩с11 .

3. s2∩b22 и s2∩с22 .

4. S =(В1В2)∩(С1С2).

5. Рассмотрим отображения φ1 : П(L1) → П(S) - перспектива с осью s1 и φ2 : П(S) → П(L2)- перспектива с осью s2 , тогда искомое проективное преобразование φ = φ2 ◦ φ1 . так как φ1 и φ2 - проективные преобразования, то φ - тоже проективное преобразование.

6. N1 =п1s1 , N2 =( N1S)∩s2 ,

7. (N2L2) - образ прямой п1 .

2 случай: П(L1) = П(L2) рассмотреть самостоятельно.

Определение: Центральной проекцией плоскости π на плоскость π'из точки S называется отображение при котором каждой точке А плоскости π ставится в соответствие точка А'плоскости π' такая что А'= π' ∩ ().

 

Свойства:

Выполняются свойства 1 - 2 перспективы прямой на прямую.

3. При перспективе плоскости на плоскость прямая пересечения плоскостей переходит сама в себя.

 

 

Определение: Перспективой пучка в пучок в пространстве Р3 с плоскостью перспективы π называется отображение φ : П(L1) → П(L2), при котором каждой прямой а1 пучка П(L1) ставится в соответствие прямая а2 пучка П(L2) такая что прямые а1 и а2 пересекаются в точке инцидентной плоскости перспективы π.

 

 

Инволюция

Определение: Нетождественное проективное преобразование, совпадающее со своим обратным называется инволюцией φ = φ -1.

Рассмотрим φ ◦ φ -1.

С одной стороны φ◦φ -1= е, с другой φ◦φ -1 = φ◦φ = φ2, φ2 = е.

φ3=φ◦φ2 = φ◦е = φ , φ4 =φ◦φ3 = φ◦φ = φ2 = е и т.д.

Замечание: В дальнейшем будем рассматривать инволюцию прямой.

Теорема. Для того чтобы преобразование прямой на себя было инволюцией необходимо и достаточно, чтобы на этой прямой существовала пара точек переходящих друг в друга: А ↔ А′.

Доказательство.

Необходимость: Дано φ=φ-1 и А→φ(А)=А′. Доказать, что А′→ φ(А′).

φ(А′) = φ(φ(А)) = φ◦φ (А) = е(А) = А .

Достаточность: Дано φ(А) = А′ и φ(А′) = А. Доказать , что φ = φ -1,

т.е. Х если φ (Х)= Х′ , то φ(Х′)= Х .

От противного. Пусть φ (Х)= Х′ , то φ(Х′)= Х ″ Х.

Так как это проективное преобразование, то сохраняется сложное отношение четырех точек (АА′,ХХ ′ )= (φ(А)φ(А′),φ(Х)φ(Х ′ ))= (АА,Х ′ Х ′′ ) = (АА′,Х ′′ Х ′ ), то в силу свойств и единственности сложного отношения получим, что Х = Х ′′. □

Отображение прямой на себя будет задаваться невырожденной матрицей второго порядка.

Пусть М , если φ=φ-1 , тогда М=М-1 М2=λ∙Е.

=

возможны два решения:

М= или М= =аЕ, а это не удовлетворяет определению инволюции.

Итак, матрица инволюции прямой М= ΔМ= -(а2 + ) ≠ 0 (почему?)

Теорема. Пусть на проективной прямой даны пары точек А, А′ и В, В′, причем хотя бы в одной паре точки различны, тогда существует единственная инволюция переставляющая эти точки.

Т.е. А ↔ А′ и В ↔ В′ .

Доказательство. Пусть А ≠ А′ .

Рассмотрим проективное преобразование φ: А → А′ , А′ → А, В → В′ ,

по теореме о задании проективного преобразования прямой - это преобразование единственное, а в силу предыдущей теоремы это инволюция (А↔А′). □

Вывод:В инволюции всегда есть пара точек А ↔ А′.

Рассмотрим инволюцию и пару А ↔ А′. Если взять эти точки в качестве базисных точек репера, т.е. А и А′ , тогда λ1 А′ = А= = = а = 0, с = λ10.

λ2 А= А′= = = b = λ20, а = 0.

М= , т.е. формулы проективного преобразования .

Определение: Точка называется инвариантной точкой проективного преобразования, если при отображении она переходит сама в себя → λ∙Х=М∙Х.

Нахождение инвариантных точек сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы.

det | М –λ ∙Е| = 0 – характеристическое уравнение.

= 0 λ 2 – а 2 – bс = 0 λ22+ bс= -ΔМ.

1 случай: ΔМ < 0 - существует два решения λ1 , 2 = существуют две неподвижные точки.

2 случай: ΔМ > 0 - нет решения – нет неподвижных точек.

3 случай: ΔМ = 0 - не может быть (почему?).

Определение: Если существует две инвариантные точки, то инволюция называется гиперболической. Если не существует инвариантных точек, то инволюция называется - эллиптической.

Инвариантные точки:

При λ1 = , =

Х1 = .

При λ 2 = - , =

Х2 = .

Вывод:Инволюция может иметь или две неподвижные точки, или ни одной.

Свойства:

1. Для гиперболической инволюции любые две пары соответствующих точек не разделяют друг друга.

2. Для эллиптической инволюции любые две пары соответствующих точек разделяют друг друга.

Доказательство. Пусть в инволюции А ↔ А′ и В ↔ В′ .

Возьмем А и А′ за базисные точки репера М= .

Пусть В , причем b10 и b20 (почему?),

тогда λ∙В′= =

(АА′,ВВ′)= .

Таким образом:

Для гиперболической инволюции - det М = - b∙с < 0,

(АА′,ВВ′) > 0, т.е. пары не разделяют друг друга.

Для эллиптической инволюции - det М= - b∙с > 0,

(АА′,ВВ′) < 0, т.е. пары разделяют друг друга. □

3. Для эллиптической инволюции и любой пары соответствующих точек найдется единственная пара делящая первую гармонически.

Доказательство. Пусть А ↔ А′ . Доказать, что существует пара точек В↔В' такая, что (АА',ВВ')= -1.

Возьмем А и А′ за базисные точки репера.

Тогда М= .

Пусть В , причем х1 ≠ 0 и х2 ≠ 0, тогда В′= .

(АА′,ВВ′)= = -1 (почему радикал существует?).

существует пара точек с координатами и .

Самостоятельно убедитесь, что В ↔ В′. □

4. Неподвижные точки гиперболической инволюции гармонически делят любую пару соответствующих точек А ↔ А′ .

Доказательство. Пусть А↔А′ , М1 и М2 - неподвижные точки.

(АА′, М1М2)=(А′А, М1М2)= (АА′,М1М2)2 = 1

(АА′,М1М2) = ± 1. Если (АА′,М1М2)= 1 М1 = М2 , но неподвижныеточки гиперболической инволюции различны, а значит (АА′,М1М2)= - 1. □



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 313;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.019 сек.