Отображение пучка в пучок
Рассмотрим отображение двойственное перспективе прямой на прямую:
Определение: Перспективой пучка в пучок с осью s называется отображение φ : П(L1) → П(L2), при котором каждой прямой а1 пучка П(L1) ставится в соответствие прямая а2 пучка П(L2) такая что прямые а1 и а2 пересекаются в точке инцидентной оси s.
В силу принципа двойственности будут выполняться все свойства перспективы прямой на прямую (сформулировать самостоятельно).
Замечание: Перспектива пучка в пучок тоже является проективным преобразованием.
Теорема. Пусть даны два пучка П(L1) и П(L2). В каждом пучке отмечены три различные прямые а1 , b1 ,с1 П(L1) и а2 , b2 , с2 П(L2). тогда существует единственное проективное отображение f : П(L1) → П(L2), при котором прямые а1 , b1 ,с1 переходят в прямые а2 , b2 , с2.
Доказательство. Самостоятельно.
Построение перспективы пучка в пучок.
1 случай: П(L1) ≠ П(L2).
1. А = а1 ∩ а2 , через точку А проводим две прямые - s1 и s2
2. s1∩b1 =В1 и s1∩с1 =С1 .
3. s2∩b2 =В2 и s2∩с2 =С2 .
4. S =(В1В2)∩(С1С2).
5. Рассмотрим отображения φ1 : П(L1) → П(S) - перспектива с осью s1 и φ2 : П(S) → П(L2)- перспектива с осью s2 , тогда искомое проективное преобразование φ = φ2 ◦ φ1 . так как φ1 и φ2 - проективные преобразования, то φ - тоже проективное преобразование.
6. N1 =п1∩s1 , N2 =( N1S)∩s2 ,
7. (N2L2) - образ прямой п1 .
2 случай: П(L1) = П(L2) рассмотреть самостоятельно.
Определение: Центральной проекцией плоскости π на плоскость π'из точки S называется отображение при котором каждой точке А плоскости π ставится в соответствие точка А'плоскости π' такая что А'= π' ∩ (SА).
Свойства:
Выполняются свойства 1 - 2 перспективы прямой на прямую.
3. При перспективе плоскости на плоскость прямая пересечения плоскостей переходит сама в себя.
Определение: Перспективой пучка в пучок в пространстве Р3 с плоскостью перспективы π называется отображение φ : П(L1) → П(L2), при котором каждой прямой а1 пучка П(L1) ставится в соответствие прямая а2 пучка П(L2) такая что прямые а1 и а2 пересекаются в точке инцидентной плоскости перспективы π.
Инволюция
Определение: Нетождественное проективное преобразование, совпадающее со своим обратным называется инволюцией φ = φ -1.
Рассмотрим φ ◦ φ -1.
С одной стороны φ◦φ -1= е, с другой φ◦φ -1 = φ◦φ = φ2, φ2 = е.
φ3=φ◦φ2 = φ◦е = φ , φ4 =φ◦φ3 = φ◦φ = φ2 = е и т.д.
Замечание: В дальнейшем будем рассматривать инволюцию прямой.
Теорема. Для того чтобы преобразование прямой на себя было инволюцией необходимо и достаточно, чтобы на этой прямой существовала пара точек переходящих друг в друга: А ↔ А′.
Доказательство.
Необходимость: Дано φ=φ-1 и А→φ(А)=А′. Доказать, что А′→ φ(А′)=А.
φ(А′) = φ(φ(А)) = φ◦φ (А) = е(А) = А .
Достаточность: Дано φ(А) = А′ и φ(А′) = А. Доказать , что φ = φ -1,
т.е. Х если φ (Х)= Х′ , то φ(Х′)= Х .
От противного. Пусть φ (Х)= Х′ , то φ(Х′)= Х ″ ≠ Х.
Так как это проективное преобразование, то сохраняется сложное отношение четырех точек (АА′,ХХ ′ )= (φ(А)φ(А′),φ(Х)φ(Х ′ ))= (А′А,Х ′ Х ′′ ) = (АА′,Х ′′ Х ′ ), то в силу свойств и единственности сложного отношения получим, что Х = Х ′′. □
Отображение прямой на себя будет задаваться невырожденной матрицей второго порядка.
Пусть М , если φ=φ-1 , тогда М=М-1 М2=λ∙Е.
=
возможны два решения:
М= или М= =а∙Е, а это не удовлетворяет определению инволюции.
Итак, матрица инволюции прямой М= ΔМ= -(а2 + bс) ≠ 0 (почему?)
Теорема. Пусть на проективной прямой даны пары точек А, А′ и В, В′, причем хотя бы в одной паре точки различны, тогда существует единственная инволюция переставляющая эти точки.
Т.е. А ↔ А′ и В ↔ В′ .
Доказательство. Пусть А ≠ А′ .
Рассмотрим проективное преобразование φ: А → А′ , А′ → А, В → В′ ,
по теореме о задании проективного преобразования прямой - это преобразование единственное, а в силу предыдущей теоремы это инволюция (А↔А′). □
Вывод:В инволюции всегда есть пара точек А ↔ А′.
Рассмотрим инволюцию и пару А ↔ А′. Если взять эти точки в качестве базисных точек репера, т.е. А и А′ , тогда λ1 А′ = ∙А= ∙ = = а = 0, с = λ1 ≠ 0.
λ2 А= ∙А′= ∙ = = b = λ2 ≠ 0, а = 0.
М= , т.е. формулы проективного преобразования .
Определение: Точка называется инвариантной точкой проективного преобразования, если при отображении она переходит сама в себя → λ∙Х=М∙Х.
Нахождение инвариантных точек сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы.
det | М –λ ∙Е| = 0 – характеристическое уравнение.
= 0 λ 2 – а 2 – bс = 0 λ2=а2+ bс= -ΔМ.
1 случай: ΔМ < 0 - существует два решения λ1 , 2 = существуют две неподвижные точки.
2 случай: ΔМ > 0 - нет решения – нет неподвижных точек.
3 случай: ΔМ = 0 - не может быть (почему?).
Определение: Если существует две инвариантные точки, то инволюция называется гиперболической. Если не существует инвариантных точек, то инволюция называется - эллиптической.
Инвариантные точки:
При λ1 = , ∙ =
Х1 = .
При λ 2 = - , ∙ =
Х2 = .
Вывод:Инволюция может иметь или две неподвижные точки, или ни одной.
Свойства:
1. Для гиперболической инволюции любые две пары соответствующих точек не разделяют друг друга.
2. Для эллиптической инволюции любые две пары соответствующих точек разделяют друг друга.
Доказательство. Пусть в инволюции А ↔ А′ и В ↔ В′ .
Возьмем А и А′ за базисные точки репера М= .
Пусть В , причем b1 ≠ 0 и b2 ≠ 0 (почему?),
тогда λ∙В′= ∙ =
(АА′,ВВ′)= .
Таким образом:
Для гиперболической инволюции - det М = - b∙с < 0,
(АА′,ВВ′) > 0, т.е. пары не разделяют друг друга.
Для эллиптической инволюции - det М= - b∙с > 0,
(АА′,ВВ′) < 0, т.е. пары разделяют друг друга. □
3. Для эллиптической инволюции и любой пары соответствующих точек найдется единственная пара делящая первую гармонически.
Доказательство. Пусть А ↔ А′ . Доказать, что существует пара точек В↔В' такая, что (АА',ВВ')= -1.
Возьмем А и А′ за базисные точки репера.
Тогда М= .
Пусть В , причем х1 ≠ 0 и х2 ≠ 0, тогда В′= .
(АА′,ВВ′)= = -1 (почему радикал существует?).
существует пара точек с координатами и .
Самостоятельно убедитесь, что В ↔ В′. □
4. Неподвижные точки гиперболической инволюции гармонически делят любую пару соответствующих точек А ↔ А′ .
Доказательство. Пусть А↔А′ , М1 и М2 - неподвижные точки.
(АА′, М1М2)=(А′А, М1М2)= (АА′,М1М2)2 = 1
(АА′,М1М2) = ± 1. Если (АА′,М1М2)= 1 М1 = М2 , но неподвижныеточки гиперболической инволюции различны, а значит (АА′,М1М2)= - 1. □
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 308;