Проективные преобразования плоскости
Рассмотрим Р2 и реперы R(Е1,Е2,Е3,Е) и R′(Е′1,Е′2,Е′3,Е′).
Определение 1: Отображение f : Р2 → Р2 заданное упорядоченной парой (R , R′) называется проективным преобразованием, если: М Р2 → f (М) = Р2 .
Замечание: Отображение f зависит только от реперов.
Замечание: Так как координаты точек и прямых определяются одинаково, то f (М) может быть как точкой, так и прямой.
Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в точку, а прямую в прямую называется коллинеация.
Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в прямую, а прямую в точку называется корреляция.
Замечание: Корреляция рассматривалась при обосновании принципа двойственности. В дальнейшем будем рассматривать коллинеации.
Лемма 1. При проективном преобразовании репер переходит в репер.
Доказательство. Пусть дано проективное преобразование плоскости
f : М → М ′ = f (М) = .
Тогда Е1 → f (Е1)= = Е′1 , аналогично отображаются
другие точки репера: Е2 → f (Е2)= =Е′2 , Е3 → f (Е3)= =Е′3 . □
Свойства проективных преобразований:
1. А, В, С ℓ А′, В′, С′ ℓ′.
Доказательство. Пусть в репере Rуравнение прямой (AB) : и1·х1 + и2·х2 + и3·х3 =0 и координаты точки С .
Так как А′ и В′ имеют те же самые координаты, что и точки А, В , но только в репере R′ , то уравнение прямой (А′В′) будет иметь такой же вид и1·х′1 + и2·х′2 + и3·х′3 =0 в R′.
Если точка С (АВ), то : и1·с1 + и2·с2 + и3·с3 =0.
Образ - С′ и1·с1 + и2·с2 + и3·с3 =0 в R′, а это означает что С′ (А′В′). □
Замечание: Для корреляции: А, В, С ℓ → а′, b′, с′ П(S).
2. А, В, С ℓ А′, В′, С′ ℓ′.
Доказательство. От противного: А, В, С ℓ и А′, В′, С′ ℓ′. Возьмем М Р2 , пусть (АВ)∩(СМ) = N.
При преобразовании А → А′, В → В′, С → С′, N → N′.
А, В, N (АВ) А′, В′, N′ (А′В′), С, М, N (СМ)
С′, М′, N′ (С′М′) (по свойству (1)).
По предположению А′,В′,С′ ℓ′ (А′В′)=ℓ′ N′ ℓ′ (С′М′)=ℓ′.
Так как точка M – произвольная, получается, что вся плоскость отображается на прямую ℓ′. А это не возможно. □
Вывод:При проективном преобразовании сохраняется отношение инцидентности.
3. Сохраняется сложное отношение точек лежащих на одной прямой: (АВ,СD)=(А′В′,С′D′).
Доказательство. Так координаты точек образов и прообразов одинаковы, то при вычислении сложного отношения используются одни и те же числа, то сохраняется двойственное отношение.□
Определение 2: Отображение f : Р2 → Р2 заданное упорядоченной парой (R,R′) называется проективным преобразованием, если: А, В, С, D ℓ → А′, В′, С′, D′ ℓ′ и (АВ,СD)=(А′В′,С′D′).
Замечание: а, b, с, d П(S)→ а′, b′, с′, d′ П(S′) сохраняется (аb,сd)=(а′b′,с′d′).
А, В, С, D ℓ→ а′, b′, с′, d′ П(f (ℓ)) сохраняется (АВ,СD)=(а′b′,с′d′).
Вывод: Корреляция как проективное преобразование попадает под это определение.
Теорема. Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство. Самостоятельно.
Лемма 2. Пусть f1 : Р2 → Р2 и f2 : Р2 → Р2 - два проективных преобразования, причем для некоторой прямой ℓ имеем, что А,В,С ℓ и f1(А)=f2(А), f1(В)=f2(В), f1(С)=f2(С), тогда f1(ℓ)=f2(ℓ).
(Если проективные преобразования f1 и f2 совпадают по трем точкам некоторой прямой, то они совпадают на всей прямой.)
Доказательство. От противного.
Возьмем М ℓ и пусть f1 (М)≠f2 (М).
f1 - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f1(А)f1(В),f1(С)f1(М))=(А′В′,С′М1).
f2 - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f2(А)f2(В),f2(С)f2(М))=(А′В′,С′М2).
(А′В′,С′М1)=(А′В′,С′М2), но в силу единственности двойного отношения следует М1=М2 для любой точки прямой ℓ f1(ℓ)=f2(ℓ). □
Теорема. Пусть R(Е1 ,Е2 ,Е3 , Е) и R′(Е′1 , Е′2 , Е′3 , Е′) произвольные реперы на Р2. Тогда существует единственное проективное преобразование f : Р2 → Р2 , которое переводит репер в репер, причем М( х1 : х2 : х3)R → f(М)=( х1 : х2 : х3)R′
Доказательство. Самостоятельно.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 433;