Проективные преобразования плоскости


Рассмотрим Р2 и реперы R(Е123) и R′(Е123′).

Определение 1: Отображение f : Р2 Р2 заданное упорядоченной парой (R , R′) называется проективным преобразованием, если: М Р2 f (М) = Р2 .

Замечание: Отображение f зависит только от реперов.

Замечание: Так как координаты точек и прямых определяются одинаково, то f (М) может быть как точкой, так и прямой.

Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в точку, а прямую в прямую называется коллинеация.

Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в прямую, а прямую в точку называется корреляция.

Замечание: Корреляция рассматривалась при обосновании принципа двойственности. В дальнейшем будем рассматривать коллинеации.

Лемма 1. При проективном преобразовании репер переходит в репер.

Доказательство. Пусть дано проективное преобразование плоскости

f : М М ′ = f (М) = .

Тогда Е1 f (Е1)= = Е1 , аналогично отображаются

другие точки репера: Е2 f (Е2)= =Е2 , Е3 f (Е3)= =Е3 .

Свойства проективных преобразований:

1. А, В, С А′, В′, С′ ℓ′.

Доказательство. Пусть в репере Rуравнение прямой (AB) : и1·х1 + и2·х2 + и3·х3 =0 и координаты точки С .

Так как А′ и В′ имеют те же самые координаты, что и точки А, В , но только в репере R′ , то уравнение прямой (А′В′) будет иметь такой же вид и1·х′1 + и2·х′2 + и3·х′3 =0 в R.

Если точка С (АВ), то : и1·с1 + и2·с2 + и3·с3 =0.

Образ - С и1·с1 + и2·с2 + и3·с3 =0 в R′, а это означает что С (АВ′).

Замечание: Для корреляции: А, В, С а′, b′, с′ П(S).

2. А, В, С А′, В′, С′ ℓ′.

Доказательство. От противного: А, В, С и А′, В′, С′ ℓ′. Возьмем М Р2 , пусть (АВ)∩(СМ) = N.

При преобразовании А → А′, В → В′, С → С′, N → N′.

А, В, N (АВ) А′, В′, N′ (А′В′), С, М, N (СМ)

С′, М′, N′ (С′М′) (по свойству (1)).

По предположению А′,В′,С′ ℓ′ (А′В′)=ℓ′ N′ ℓ′ (С′М′)=ℓ′.

Так как точка M – произвольная, получается, что вся плоскость отображается на прямую ℓ′. А это не возможно. □

Вывод:При проективном преобразовании сохраняется отношение инцидентности.

 

3. Сохраняется сложное отношение точек лежащих на одной прямой: (АВ,СD)=(А′В′,С′D′).

Доказательство. Так координаты точек образов и прообразов одинаковы, то при вычислении сложного отношения используются одни и те же числа, то сохраняется двойственное отношение.□

Определение 2: Отображение f : Р2 Р2 заданное упорядоченной парой (R,R′) называется проективным преобразованием, если: А, В, С, D А′, В′, С′, D′ ℓ′ и (АВ,СD)=(А′В′,С′D′).

Замечание: а, b, с, d П(S)→ а′, b′, с′, d′ П(S′) сохраняется (аb,сd)=(а′b′,с′d′).

А, В, С, D а′, b′, с′, d′ П(f ()) сохраняется (АВ,СD)=(а′b′,с′d′).

Вывод: Корреляция как проективное преобразование попадает под это определение.

 

Теорема. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Самостоятельно.

Лемма 2. Пусть f1 : Р2 Р2 и f2 : Р2 Р2 - два проективных преобразования, причем для некоторой прямой имеем, что А,В,С и f1(А)=f2(А), f1(В)=f2(В), f1(С)=f2(С), тогда f1()=f2().

(Если проективные преобразования f1 и f2 совпадают по трем точкам некоторой прямой, то они совпадают на всей прямой.)

Доказательство. От противного.

Возьмем М и пусть f1 (М)≠f2 (М).

f1 - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f1(А)f1(В),f1(С)f1(М))=(АВМ1).

f2 - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f2(А)f2(В),f2(С)f2(М))=(АВМ2).

(АВМ1)=(АВМ2), но в силу единственности двойного отношения следует М12 для любой точки прямой f1()=f2(). □

Теорема. Пусть R(Е1 2 3 , Е) и R′(Е1 , Е2 , Е3 , Е′) произвольные реперы на Р2. Тогда существует единственное проективное преобразование f : Р2 Р2 , которое переводит репер в репер, причем М( х1 : х2 : х3)Rf(М)=( х1 : х2 : х3)R′

Доказательство. Самостоятельно.

 



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 427;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.011 сек.