Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости


Рассмотрим расширенную евклидову плоскость Р2 и однородный репер R(Е1∞ , Е2∞ , Е3 , Е).

В этом случае связь между проективными и аффинными координатами будет выражаться формулами: х = и у = .

Для собственных точек плоскости координата х3≠0, для несобственных - х3=0.

Пусть дана прямая и : и1 х1+ и2 х2+ и3 х3 =0.

Прямая содержит только одну несобственную точку U (проверьте!)

Все остальные точки собственные, тогда мы можем разделить уравнение прямой на х3 ≠ 0 ,

получим: и1 + и2 + и3=0 и1 х + и2 у + и3=0 – общее уравнение прямой на евклидовой плоскости с направляющим вектором ā ( и2 ; - и1 ) (сравнить с координатами несобственной точки).

Как известно, если две прямые параллельны, то их направляющие вектора коллинеарны:

ā ( и2 ; - и1 ) || ( λи2 ; -λи1 ). Тогда несобственная точка второй прямой будет иметь координаты:

= = U - это означает, что параллельные в евклидовом смысле прямые пересекаются в несобственной точке. На евклидовой плоскости таких точек нет, а значит параллельные в евклидовом смысле прямые не пересекаются на евклидовой плоскости, но пересекаются на проективной плоскости.

Пусть дана квадрика: q11х1²+q22х2²+q33х3²+2q12х1х2+2q13х1х3+2q23х2х3=0.

Разделим уравнение КВП на х3² ≠ 0, получим:

q11+q22+q33+2q12 +2q13 +2q23 =0

q11х² + 2q12ху + q22у² + 2q13х + 2q23у + q33 =0 – общее уравнение КВП на евклидовой плоскости.

Как известно тип КВП на евклидовой плоскости определяется инвариантом

J2 = = q11q22 -q12².

J2>0 – эллиптический, J2<0 – гиперболический, J2=0 – параболический типы.

Найдем несобственные точки квадрики.

Это точки для которых х3 = 0.

Так все три координаты х1 , х2 , х3 одновременно не обращаются в 0, то хотя бы одна х1 или х2 не равны 0. Пусть это будет х2 ≠ 0. Разделим второе уравнение системы на х2 ≠ 0:

q11+2q12 + q22 =0 – квадратное уравнение. D= q12². - q11q22 = - (q11q22 -q12²) = - J2

Таким образом, у линии эллиптического типа нет несобственных точек, у линии параболического типа одна несобственная точка –

, у линии гиперболического типа - - несобственные точки.

 

Задача. Найдите несобственные точки гиперболы и параболы, заданных каноническими уравнениями.

Решение. Парабола: у2 = 2∙р∙х , перейдем к проективным координатам:

=2р х3² х2² - 2 р х1х3 = 0.

Найдем несобственные точки квадрики:

х2² = 0 решение системы 1∞ .

Матрицей квадрики будет - Q = .

Найдем поляру несобственной точки:

= - р∙ х3 = 0

х3 = 0 – несобственная прямая (Е1∞ Е2∞).

Так как несобственная точка принадлежит квадрике, то поляра является касательной.

Для гиперболы - самостоятельно.

Определение: Асимптотой квадрики называется касательная в несобственной точке.

Таким образом, у эллипса нет асимптот (нет пересечения с несобственной прямой) у параболы одна асимптота – несобственная прямая у гиперболы две асимптоты.

Как известно эллипс и гипербола являются центральными линиями. Центр квадрики обычно определяется как точка, в которой делятся пополам все проходящие через нее хорды.

Будем рассматривать хорды не как отрезки, а как прямые.

Фиксируем какую-либо хорду, если центр – середина, тогда четвертая гармоническая точка будет несобственной и с силу гармонизма она будет принадлежать поляре центра. Но так как центр – середина для любой хорды, проходящей через центр, тогда поляра будет состоять из несобственных точек. Это дает основание для следующего определения:

Определение: Центром КВП называется полюс несобственной прямой.

Так как полюс находится по формуле: μА= Q-1 а Т, тогда центр - μА= Q-1 ( 1 0 0 )Т = Q-1 .

На евклидовой плоскости диаметром КВП является хорда, проходящая через середины параллельных хорд. Но все параллельные прямые пересекаются в несобственной точке. Т.о. середины параллельных хорд гармонически сопряжены с этой несобственной точкой, а значит, они принадлежат поляре несобственной точки. Это позволяет дать следующее определение:

 

Определение: Диаметром квадрики будем называть поляру несобственной точки.

Замечание:Несобственных точек бесконечно много, а значит и диаметров много.

Уравнение диаметра: λаХ = АТQХ

Замечание:По свойствам полюса и поляры – диаметры квадрики пересекаются в центре.

Задача. Определить аффинный класс квадрики, найти центр, асимптоты (если есть) х1²+ х2²+ х3²+6х1х2 =0.

Найти диаметр, параллельный прямой 3 х1+ 2 х2 - х3 = 0.

Решение. Найдем несобственные точки квадрики. Решим систему

х1²+ х2²+6х1х2 = 0 | : х2² ≠ 0 получим

решение . Значит квадрика имеет две несобственные точки М1 и М2 , т.е. квадрика гиперболического типа.

Матрицей квадрики будет - Q = , причем ΔQ= -8 ≠ 0, значит это не вырожденная линия. Таким образом, это гипербола. Найдем поляру несобственной точки:

= х1 + 3х2 = 0.

Q-1= , тогда полюс несобственной прямой х3= 0

μС= - центр квадрики.

Найдем асимптоты – поляры несобственных точек:

асимптоты имеют уравнения: и

Найдем несобственную точку прямой 3 х1+ 2 х2 - х3 = 0 :

несобственная точка D .

Диаметр соответствующий этой точке: 7 х1 - 3 х2 = 0.

Несобственная точка этого диаметра , тогда ее поляра:

3 х1 + 2 х2 = 0.

Другой способ: искомый диаметр проходит через точку D и центр С:

=0 3 х1 + 2 х2 = 0.

ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 358;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.015 сек.