Алгебраическое представление двоичных чисел

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак + (плюс), код 1 — знак – (минус). Для алгебраического представления чисел, то есть для представления чисел с учетом их знака, в вычислительных машинах используются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный код числа. При этом два последних кода позволяют заменить неудобную для компьютера операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом. Дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в компьютере применяется чаще именно он.

Прямой код числа N записывается как [N]_пр. Пусть N = a a a ... a.

[N]_пр.=0, а а а … а, если N > 0;

N]_пр. =1, а а а … а, если N < 0.

Если N=0, то имеет место неоднозначность:
[N]_пр.= 0,00…0 и [N]_пр.=1,00…0.

Если оба слагаемых имеют одинаковый знак, то операция сложения выполняется обычным путем. Если слагаемые имеют разные знаки, то для их сложения необходимо выявить большее по абсолютной величине число, произвести из него вычитание меньшего по абсолютной величине числа и разности присвоить знак большего числа. Выполнение операций умножения и деления в прямом коде выполняется обычным образом, но знак результата определяется по совпадению или несовпадению знаков участвовавших в операции чисел. Операцию вычитания в этом коде нельзя заменить операцией сложения с отрицательным числом, поэтому возникают сложности, связанные с займом значений из старших разрядов уменьшаемого числа. В связи с этим прямой код в компьютере почти не при меняется.

Обратный код числа N записывается как [N]_обр. Величина, обратная значению а, записываетсякак (инверсия а), если а = 1, то = 0, и наоборот.

Если N > 0, то [N]_обр =[N]_пр = 0, a a ... a;

если N < 0, то [N]_обр = 1, ... ;

если N = 0, то возникает неоднозначность, [0]_обр = 0,00...0 или =1,11...1. Для получения обратного кода отрицательного числа необходимо все цифры этого числа инвертировать, в знаковом разряде поставить 1(во всех значащих разрядах нули заменить единицами, а единицы нулями).

Например, число N = 0,1011, [N]_обр = [N]_пр = 0,1011,

число N = –0,1011, [N]_обр = 1,0100.

Дополнительный код числа N записывается как [N]_доп.

Если N >= 0, то [N]_доп = [N]_пр = 0, a a ... a ;

если N <= 0, то [N]_доп = 1, ... + 0,0 0 ...1.

Для того чтобы получить дополнительный код отрицательного числа, необходимо все его цифры инвертировать, в знаковом разряде поставить единицу, во всех значащих разрядах нули заменить единицами, а единицы нулями. Затем к младшему разряду числа следует прибавить 1. В случае возникновения переноса из первого после запятой разряда в знаковый разряд, к числу следует прибавить 1в младший разряд.

Например, N = 0,1011, [N]_доп = 0,1011; N = –0,1100, [N]_доп = 1,0100;

Эмпирическое правило: для получения дополнительного кода отрицательного числа необходимо все символы этого числа инвертировать, кроме последней (младшей) единицы и тех нулей, которые за ней следуют.