Построение образов и прообразов точек при инволюции прямой.

Задача. Инволюция задана точками А ↔ А′ и В ↔ В′. Построить образ и прообраз произвольных точек.

Решение. Решение соответствует второму случаю (ℓ₁ = ℓ₂) отображения φ: А → А′,В → В′, А′ → А.

Построение:

1. S₁ ℓ₁ ,

2. ℓ₃ , такую, что S₁ ℓ₃ и ℓ₁ ≠ ℓ₃ ,

3. А₃ = ℓ₃ ∩ (S₁ А), В₃ = ℓ₃ ∩ (S₁В), С₃ = ℓ₃ ∩ (S₁ А′),

4. S₂ ≠ S₃ (А′А₃),

5. С₀ =(S₃С₃)∩(S₂А), В₀ =(S₃В₃)∩(S₂В′), А₀ =(В₀С₀)∩(А′А₃).

6. К К₃ =ℓ₃∩(S₃ К), К₀=(S₃К₃)∩(В₀С₀), К′=(S₂К₀)∩ℓ₁ .

7. L_∞ ℓ₁, L₀=(S₂L₃)∩(В₀С₀), L₃=(S₃L₀)∩ℓ₃, L=(S₁L₃)∩ℓ₁.

8. Построение прообразов в обратном порядке (самостоятельно).

Задача. Дана гиперболическая инволюция и даны инвариантные точки М₁ и М₂ . Построить образ и прообраз произвольной точки А.

Решение. По свойству (4) → (АА′, М₁М₂)= - 1. Т.о. задача сводится к построению четвертой гармонической точки. Аналогично строится прообраз точки.

Задача. Даны точки А ↔ А′ и В ↔ В′ . Найти уравнение инволюции.

Решение. Пусть матрица инволюции М= , тогда формулы λ∙Х ′ = М∙Х и λ∙Х = М∙Х ′.

Подставим точки:

λ₁∙А′=М∙А ,

λ₂∙А=М∙А′ ,

λ₃∙В′=М∙В ,

λ₄∙В=М∙В′ .

.

Одно из решений а = 7, b= - 5, с= 2, М= .

Уравнение инволюции: λ∙Х ′ = ∙Х.

Задача. Известны неподвижные точки инволюции - М₁ и М₂ , найти её уравнение.

Решение. Пусть матрица инволюции М= ,

тогда формулы преобразования λ∙Х′=М∙Х и λ∙Х=М∙Х′, для инвариантных точек λ∙Х=М∙Х .

Подставим наши точки: λ₁∙М₁=М∙М₁, λ₂∙М₂=М∙М₂ .

.

Одно из решений а = -5, b= 3, с= - 8, М= .

Уравнение инволюции: λ∙Х ′ = ∙Х .

Задача. Найти неподвижные точки инволюции .

Решение. Матрица инволюции М= .

Тогда характеристическое уравнение λ ² - 9²–(-8)∙7 = 0 λ ²= 25 λ = ± 5.

При λ₁ = 5, ∙ = х₁ = 2∙х₂ , М₁ = .

При λ ₂ = -5 , ∙ = 7∙х₁ = 4∙х₂ , М₂ = .

Коллинеация

Определение: Проективное преобразование плоскости называется коллинеацией, если образом точки будет точка, а образом прямой прямая.

Свойства:

1. Сохраняется инцидентность точек и прямых.

2. Сохраняется сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой и четырёх прямых пучка.

3. Композиция коллинеаций, есть коллинеация.

4. Множество коллинеаций образует подгруппу в группе проективных преобразований.

Доказательство. Самостоятельно.

Теорема 1. Пусть А₁, В₁, С₁, D₁ и А₂, В₂, С₂, D₂ - упорядоченные четверки точек, в каждой из которых никакие три не лежат на одной прямой. Тогда существует коллинеация φ на проективной плоскости такая, что: φ(А₁) = А₂, φ(В₁) =В₂, φ(С₁) = С₂, φ(D₁) = D₂.

Доказательство. По аналогии с проективным отображением прямой на прямую, преобразование плоскости можно разложить на композицию не более чем трёх перспектив. Доказательство осуществляется построением. □

Рассмотрим Р₂ и два репера, тогда уравнение коллинеации, переводящее точки репера в точки репера единственное и задается формулами (**).

Пусть и ( и₁ : и₂ : и₃ ) - прямая и∙Х = 0, её образ - f (и) = и ′ (и′₁ : и′₂ : и′₃) → и′∙Х ′ = 0 .

и∙Х = и∙А^-1 ∙f (Х) = и∙А^-1 ∙Х ′ = 0 → и∙А^-1 = λ∙и′ μ∙и = и′∙А.

Вывод:Формулы коллинеации имеют вид:

Для точек: λ∙Х ′=А∙Х и μ∙Х = А^-1∙Х ′.

Для прямых: и∙А^-1 = λ∙и′ μ∙и = и′∙А.

Замечание: Формулы очень похожи на формулы преобразования координат при переходе к другому реперу. Но там координаты одной и той же точки в разных реперах, здесь координаты разных точек (образа и прообраза) в одном репере.

Инварианты коллинеации

Определение: Точка называется неподвижной (инвариантной) точкой проективного преобразования, если она переходит сама в себя.

Определение: Прямая называется неподвижной (инвариантной) прямой проективного преобразования, если она переходит

сама в себя.

Определение: Прямая называется точечно неподвижной (точечно инвариантной) прямой проективного преобразования, если каждая точка этой прямой инвариантна.

Нахождение инвариантов коллинеации.

Так как для инвариантных точек λ∙Х = М∙Х , то они являются собственными векторами матрицы преобразования. Собственные значения находятся из характеристического уравнения

Теорема. Любая прямая инцидентная центру гомологии является неподвижной.

Доказательство. (самостоятельно).

Свойства:

1. Точка и ее образ лежат на одной прямой с центром А А′ (АР).

2. Прямая и ее образ пересекаются на оси а а′ ∩ а = А₀ р.

Теорема. Для любых точки Р, прямой р и пары точек А и А′, коллинеарных с точкой Р, существует единственная гомология с центром Р и осью р, переводящая А в А′.

(Сформулируйте теорему двойственную этой.)

Доказательство.

1 случай: Р р.

Пусть р ∩(АА′)=Х , возьмем ещё две точки U ≠ V р .

Рассмотрим две четвёрки точек: А, Р, U, V и А', Р, U, V – в каждой четвёрке точек никакие три не лежат на одной прямой. Тогда можно рассмотреть коллинеацию

φ: U→U, V→V, Р→Р, А→А′.

Так как U, V – неподвижные точки, тогда неподвижна вся прямая - р, а значит это гомология.

2 случай: Р р (самостоятельно). □

Вывод: Гомологию можно задать: осью, центром и парой точек, коллинеарных с центром. Гомологию можно задать: осью центром и парой прямых.