Построение образов и прообразов точек при гомологии.
1. Дано: Р р , А , А′ , Р – коллинеарны.
Простроить образ и прообразы произвольных точек.
а) М р → точки прямой р инвариантны.
б) В, С′ (АА′): (АВ)∩р=В0 , (РВ)∩(В0А′)=В′ - образ.
(А′С′)∩р=С0 , (РС′)∩(С0А)=С - прообраз.
в) К (АА′) → для таких точек вместо точек А и А′ можно использовать В , В′ или С , С′
(см (б)).
г) D∞ → построение аналогично (б).
2. Дано: Р р , А , А′ , Р – коллинеарны.
Простроить образ и прообразы произвольных точек.
а) М р → точки прямой р инвариантны.
б) В, С′ (АА′): → (АВ)∩р=В0 , (РВ)∩(В0А′)=В′ - образ.
→ (А′С′)∩р=С0 , (РС′)∩(С0А)=С - прообраз.
в) К (АА′) → для таких точек вместо точек А и А′ можно использовать В , В′ или С , С′ (см (б)).
г) D∞ → построение аналогично (б).
Замечание: Построения для параболической гомологии аналогичны построениям для гиперболической гомологии.
Рассмотрим гиперболическую гомологию, пусть Х= (АВ)∩(А′В′).
При центральном проектировании прямой (АА′) на прямую (ВВ′) с центром Х точки В, В′, В0 являются центральными проекциями точек А, А′, А0 . Точка Р при этом проектировании является неподвижной (почему?). Тогда по свойствам сложного отношения (РА0 , АА′)=(РВ0 ,ВВ′), значит это сложное отношение - величина постоянная.
Обозначим её h =(РА0 , АА′) - она называется константой гомологии.
Теорема. Для любой прямой р, точки Р р, и любого действительного числа h, отличного от 0 и 1. Существует гиперболическая гомология с центром Р, осью р и константой h.
Доказательство. Дано Р р,h , берем А. А0= р∩(АР) - точка единственна. Тогда точка А′ находится из условия h =(РА0 , АА′) - по свойствам сложного отношения такая точка единственна, причем А′ (РА). По предыдущей теореме существует гомология с осью р, центром Р и А → А′. □
Определение: Гомология называется инволюционной, если она совпадает со своим обратным отображением.
Теорема. Параболическая гомология не может быть инволюционной.
Доказательство. От противного. Пусть Р р .
Так как преобразование - инволюция, то существуют точки А↔А′ и В↔В′. Тогда прямые (АВ)↔(А′В′) - переходят друг в друга, Q=(АВ)∩(А′В′) р. Прямые (А′В)↔(АВ′) – тоже переходят друг в друга, R=(А′В)∩(АВ′) р.
Но АВА′В′ - четырёхвершинник и ΔРQR – диагональный трёхвершинник, а значит эти точки не могут лежать на одной прямой (оси - р). (противоречие). □
Теорема. Для того чтобы гиперболическая гомология была инволюционной, необходимо и достаточно, чтобы константа h =-1.
Доказательство. Пусть Р р , М → М′ , (ММ′)∩р=М0 .
Необходимость h = -1.
Пусть М′→М′′, тогда (РМ0 ,ММ′)= - 1 =(РМ0 ,М′М) - по свойству сложного отношения,
но (РМ0 , М′М)=( РМ0 , М′′М′) - по свойству проективного преобразования М=М′′ М ↔ М′.
Достаточность М ↔ М′.
(РМ0 , ММ′)= (РМ0 ,М′М)2 = 1 (РМ0 ,М′М)=± 1.
Но (РМ0 ,М′М)=1 - не может быть (почему?), (РМ0 ,М′М) = - 1. □
Вывод: Инволюционная гомология определяется центром и осью.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 411;