Построение образов и прообразов точек при гомологии.


1. Дано: Р р , А , А′ , Р – коллинеарны.

Простроить образ и прообразы произвольных точек.

а) М р → точки прямой р инвариантны.

б) В, С′ (АА′): (АВ)∩р=В0 , (РВ)∩(В0А′)=В′ - образ.

(АС′)∩р=С0 , (РС′)∩(С0А)=С - прообраз.

в) К (АА′) для таких точек вместо точек А и А′ можно использовать В , В′ или С , С

(см (б)).

г) Dпостроение аналогично (б).

2. Дано: Р р , А , А′ , Р – коллинеарны.

Простроить образ и прообразы произвольных точек.

а) М р → точки прямой р инвариантны.

б) В, С′ (АА′): (АВ)∩р=В0 , (РВ)∩(В0А′)=В′ - образ.

(АС′)∩р=С0 , (РС′)∩(С0А)=С - прообраз.

в) К (АА′) для таких точек вместо точек А и А′ можно использовать В , В′ или С , С′ (см (б)).

г) Dпостроение аналогично (б).

Замечание: Построения для параболической гомологии аналогичны построениям для гиперболической гомологии.

 

Рассмотрим гиперболическую гомологию, пусть Х= (АВ)∩(А′В′).

При центральном проектировании прямой (АА′) на прямую (ВВ′) с центром Х точки В, В′, В0 являются центральными проекциями точек А, А′, А0 . Точка Р при этом проектировании является неподвижной (почему?). Тогда по свойствам сложного отношения (РА0 , АА′)=(РВ0 ,ВВ′), значит это сложное отношение - величина постоянная.

Обозначим её h =(РА0 , АА′) - она называется константой гомологии.

Теорема. Для любой прямой р, точки Р р, и любого действительного числа h, отличного от 0 и 1. Существует гиперболическая гомология с центром Р, осью р и константой h.

Доказательство. Дано Р р,h , берем А. А0= р∩(АР) - точка единственна. Тогда точка А′ находится из условия h =(РА0 , АА′) - по свойствам сложного отношения такая точка единственна, причем А′ (РА). По предыдущей теореме существует гомология с осью р, центром Р и А → А′. □

Определение: Гомология называется инволюционной, если она совпадает со своим обратным отображением.

Теорема. Параболическая гомология не может быть инволюционной.

Доказательство. От противного. Пусть Р р .

 

Так как преобразование - инволюция, то существуют точки АА′ и В↔В′. Тогда прямые (АВ)↔(АВ′) - переходят друг в друга, Q=(АВ)∩(АВ′) р. Прямые (АВ)↔(АВ′) – тоже переходят друг в друга, R=(АВ)∩(АВ′) р.

Но АВАВ′ - четырёхвершинник и ΔРQR – диагональный трёхвершинник, а значит эти точки не могут лежать на одной прямой (оси - р). (противоречие). □

 

 

Теорема. Для того чтобы гиперболическая гомология была инволюционной, необходимо и достаточно, чтобы константа h =-1.

Доказательство. Пусть Р р , М → М′ , (ММ′)∩р=М0 .

Необходимость h = -1.

Пусть М→М′′, тогда (РМ0 ,ММ′)= - 1 =(РМ0М) - по свойству сложного отношения,

но (РМ0 , ММ)=( РМ0 , М′′М′) - по свойству проективного преобразования М=М′′ М М′.

Достаточность М М′.

(РМ0 , ММ′)= (РМ0М)2 = 1 (РМ0М)=± 1.

Но (РМ0М)=1 - не может быть (почему?), (РМ0М) = - 1. □

Вывод: Инволюционная гомология определяется центром и осью.



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 402;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.