Векторное пространство, n - мерный вектор

<7 8 91011 12 13 >

Множество всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных ранее нами, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств, в частности = {Х; У; Z} – вектор в трехмерном пространстве. Очень часто при вычислениях, связанных с векторами отвлекаешься от геометрического смысла вектора и имеешь дело лишь с его координатами. По аналогии с описанной моделью множества векторов трехмерного пространства можно рассмотреть понятие n - мерного векторного пространства.

Определение: n – мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде = ( х₁, х₂, х₃, ....., х _n )

Понятие n – мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором = (х₁, х₂, х₃, ....., х _n ), а соответствующие цены – вектором = ( у₁, у₂,у₃,....уn ).

Два n – мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т. е. = , если х_i =у_i_,i = 1,2,3.....,n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор = + , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т. е . z_i = х_i + у_i i = 1,2,3....., n.

Произведением вектора на действительное число l называется вектор = l , компоненты u_i которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора , т. е. u_i = l х _i _,i = 1, 2, 3....., n.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующимисвойствами:

1. + = + - коммутативное (переместительное) свойство суммы.

2. ( + ) + = + ( + ) – ассоциативное (сочетательное) свойство суммы.

3. ( b ) = (a b ) - ассоциативное относительно числового множителя свойство.

4. (a + b ) = a + b – дистрибутивное (распределительное) относительно суммы числовых множителей свойство.

5. ( + ) = a + a – дистрибутивное относительно суммы векторов свойство.

6. Существует нулевой вектор =(0 , 0,.....0) такой, что + = для любого вектора (особая роль нулевого вектора ).

7. Для любого вектора существует противоположный вектор (- ) такой, что +( - ) = .

8. 1 · = для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение: Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

По аналогии с линейно зависимыми и линейно независимыми строками матрицы вводится понятие линейной независимости векторов.

Определение: Вектор _m называется линейно комбинацией векторов ₁, ₂, ₃,.... _m векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: _m = l₁ ₁+ l₂ ₂+ l₃ ₃+....+ l _m_-1 _m-1, где l₁, l₂, ... l _m_-1- произвольные действительные числа.

Определение: Векторы ₁, ₂, ₃,.... _m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l₁, l₂, .....l _m , не равные одновременно нулю, что

l₁ ₁ + l₂ ₂+ ... +.l _m _m= .

В противном случае векторы ₁, ₂, ₃,.... _m называются линейно независимыми.

Если векторы ₁, ₂, ₃,.... _m линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных вектора ₁и ₂ на плоскости. Действительно, условие l₁ ₁+ l₂ ₂ = 0 будет выполняться лишь в случае, когда

l₁= l₂ = 0, ибо если, например l₂ ¹ 0, то ₂= – ₁и векторы ₁и ₂коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Свойства векторов линейного пространства:

1. Если среди векторов ₁, ₂, ₃,.... _m имеется нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если часть векторов ₁, ₂, ₃,.... _m являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.

Действительно, если, например, векторы ₁, ₂, ₃,.... _m линейно зависимы, то справедливо равенство l₂ ₂+ l _m _m= , в котором не все числа l₂.... l _m и l₁= 0 будет справедливо равенство l₁ ₁ + l₂ ₂+ ... +.l _m _m= .

Пример: Выяснить, являются ли векторы ₁=(1, 3, 1, 3), ₂ = (2, 1, 1, 2 ), ₃ = ( 3, - 1, 1, 1 ) линейно зависимыми.

Решение. Составим векторное равенство l₁ ₁ + l₂ ₂+l₃ ₃ = или

l₁ + l₂ + l₃ = .

Задача свелась, таким образом, к решению системы:

Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду:

откуда найдем бесконечное множество ее решений (l₁= с, l₂= -2с, l₃= с), где с - произвольное действительное число.

Итак, для данных векторов условие l₁ ₁ + l₂ ₂+ ... +.l _m _m= выполняется не толдько при l₁= l₂= l₃=0 (а, например, при l₁=1, l₂ = -2, l₃=1 (с =1); при l₁=2, l₂=-4, l₃=2 (с =2) и т.д.), следовательно, эти векторы – линейно зависимые.

Линейное пространство R называется n- мерным, если в нем существует n линейно независимым вектором, а любые из (n + 1) векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства R и обозначает dim(R) .

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного пространства R называется базисом.

Теорема: Каждый вектор хлинейного пространства R можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство:

Пусть векторы е₁, е₂,..., е_n образуют произвольный базис n- мерного пространства R . Так как любые из

(n + 1) векторов n- мерного пространства R зависимы , то будут зависимы , в частности , векторы е₁, е₂,..., е_n и рассматриваемый вектор х. Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числа l₁, l₂ ,l_n , l , что

l₁е₁ + l₂ е₂ +...+ l _n е_n + lх=0

При этом l ¹ 0, ибо в противном случае , если l = 0 и хотя бы одно из чисел l₁, l₂ ,..., l_n было бы

отлично от нуля, то векторы е₁, е₂,..., е_n были бы линейно зависимы. Следовательно,

= - е₁ - е₂ - ... - е_n или = х₁е₁ +х₂ е₂+...+х _nе_n где х _i = - (i = 1, 2, ...., n) (*)

Это выражение через е₁, е₂,..., е_n единственное, так как если допустить какое – либо другое выражение, например, = у₁е₁ +у₂ е₂+...+у _nе_n , то, вычитая из него почленно ( * ), получим

( у₁ – х ₁₎ е₁+ (у₂ – х ₂) е₂ + ...+ (у _n – х _n) е_n = 0 , откуда из условия линейной независимости векторов е₁, е₂,..., е_n следует, что у₁ – х ₁= у₂ – х ₂= ...= у _n – х _n = 0 или у₁ = х ₁, у₂ = х ₂ ... у _n = х _n у _n = х _n . g

Равенство ( * ) называется разложением вектора по базису е₁, е₂,..., е_n, а числа х ₁, х ₂ ... х _n – координаты вектора относительно этого базиса. В силу единственности этого разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Важное значение имеет следующая теорема, которую мы приведем без доказательства:

Теорема. Если е₁, е₂,..., е_n – система линейно независимых векторов пространства R и любой вектор алинейно выражается через е₁, е₂,..., е_n ,то пространство R является n- мерным , а векторы е₁, е₂,..., е_n – его базисом.

Пример.В базисе е₁, е_{2 ,}е₃заданы векторы а₁ = (1; 1; 0), а₂= (1; -1; 1) и а₃ = (-3; 5;-6) . Показать, что векторы а₁,а_{2 ,}а₃ образуют базис.

Решение.Векторы а₁, а_{2 ,}а₃образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: l₁а₁+ l₂а₂+ l ₃а ₃= 0. Решая его аналогично примеру 1 можно убедиться в единственном нулевом решении: l₁+ l₂+ l ₃= 0 , т.е. векторы а₁, а_{2 ,}а₃образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис.