Векторное пространство, n - мерный вектор

Множество всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных ранее нами, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств, в частности = {Х; У; Z} – вектор в трехмерном пространстве. Очень часто при вычислениях, связанных с векторами отвлекаешься от геометрического смысла вектора и имеешь дело лишь с его координатами. По аналогии с описанной моделью множества векторов трехмерного пространства можно рассмотреть понятие n - мерного векторного пространства.

Определение: n – мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде = ( х₁, х₂, х₃, ....., х _n )

Понятие n – мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором = (х₁, х₂, х₃, ....., х _n ), а соответствующие цены – вектором = ( у₁, у₂ ,у ₃,....уn ).

Два n – мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т. е. = , если х_i =у_i, i = 1,2,3.....,n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор = + , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т. е . z_i = х_i + у_i i = 1,2,3....., n.

Произведением вектора на действительное число l называется вектор = l , компоненты u_i которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора , т. е. u_i = l х _{i ,} i = 1, 2, 3....., n.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующимисвойствами:

1. + = + - коммутативное (переместительное) свойство суммы.

2. ( + ) + = + ( + ) – ассоциативное (сочетательное) свойство суммы.

3. ( b ) = (a b ) - ассоциативное относительно числового множителя свойство.

4. (a + b ) = a + b – дистрибутивное (распределительное) относительно суммы числовых множителей свойство.

5. ( + ) = a + a – дистрибутивное относительно суммы векторов свойство.

6. Существует нулевой вектор =(0 , 0,.....0) такой, что + = для любого вектора (особая роль нулевого вектора ).

7. Для любого вектора существует противоположный вектор (- ) такой, что +( - ) = .

8. 1 · = для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение: Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

По аналогии с линейно зависимыми и линейно независимыми строками матрицы вводится понятие линейной независимости векторов.

Определение: Вектор _m называется линейно комбинацией векторов ₁, ₂, ₃,.... _m векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: _m = l_{1 1}+ l_{2 2}+ l_{3 3}+....+ l _{m-1 m-1} , где l₁ , l₂ , ... l _m-1- произвольные действительные числа.

Определение: Векторы ₁, ₂, ₃,.... _m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l₁ , l₂ , .....l _m , не равные одновременно нулю, что

l_{1 1} + l_{2 2}+ ... +.l _{m m}= .

В противном случае векторы ₁, ₂, ₃,.... _m называются линейно независимыми.

Если векторы ₁, ₂, ₃,.... _m линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных вектора ₁ и ₂ на плоскости. Действительно, условие l_{1 1}+ l_{2 2} = 0 будет выполняться лишь в случае, когда

l₁= l₂ = 0, ибо если, например l₂ ¹ 0, то ₂ = – ₁ и векторы ₁ и ₂ коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Свойства векторов линейного пространства:

1. Если среди векторов ₁, ₂, ₃,.... _m имеется нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если часть векторов ₁, ₂, ₃,.... _m являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.

Действительно, если, например, векторы ₁, ₂, ₃,.... _m линейно зависимы, то справедливо равенство l_{2 2} + l _{m m}= , в котором не все числа l₂.... l _m и l₁= 0 будет справедливо равенство l_{1 1} + l_{2 2}+ ... +.l _{m m}= .

Пример: Выяснить, являются ли векторы ₁ =(1, 3, 1, 3), ₂ = (2, 1, 1, 2 ), ₃ = ( 3, - 1, 1, 1 ) линейно зависимыми.

Решение. Составим векторное равенство l_{1 1} + l_{2 2}+l_{3 3} = или

l₁ + l₂ + l₃ = .

Задача свелась, таким образом, к решению системы:

Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду:

откуда найдем бесконечное множество ее решений (l₁ = с, l₂ = -2с, l₃ = с), где с - произвольное действительное число.

Итак, для данных векторов условие l_{1 1} + l_{2 2}+ ... +.l _{m m}= выполняется не толдько при l₁ = l₂ = l₃ =0 (а, например, при l₁=1, l₂ = -2, l₃ =1 (с =1); при l₁ =2, l₂ =-4, l₃ =2 (с =2) и т.д.), следовательно, эти векторы – линейно зависимые.

Линейное пространство R называется n- мерным, если в нем существует n линейно независимым вектором, а любые из (n + 1) векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства R и обозначает dim(R) .

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного пространства R называется базисом.

Решение.Векторы а₁ , а_{2 ,} а₃ образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: l₁ а₁+ l₂ а₂ + l ₃ а ₃ = 0. Решая его аналогично примеру 1 можно убедиться в единственном нулевом решении: l₁ + l₂ + l ₃ = 0 , т.е. векторы а₁ , а_{2 ,} а₃ образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис.