Определение и геометрический смысл смешанного произведения
Определение:Смешанным произведением трех векторов ,
,
называется число, равное скалярному произведению вектора
на векторное произведение векторов
и
, т. е.
· (
´
) .
Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения.
Теорема: Смешанное произведение векторов · (
´
)равно объему параллелепипеда построенного на векторах
,
,
, взятому со знаком « +», если тройка векторов
,
,
– правая, и со знаком « – », если тройка
,
,
– левая. Если же
,
,
компланарны, то
· (
´
) = 0. Другими словами:
· (
´
)=
Доказательство. Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим
и заметим, что
.
По определению смешанного произведения: .
Предполагая, что и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим
.Таким образом, при
Если же , то
и
Следовательно, .Объединяя оба эти случая, получаем
или
.
Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение
, а если
– левая, то
.
Докажем второе утверждение. Пусть векторы ,
и
компланарны. Если
= 0, то, очевидно,
· (
´
) = 0. Пусть
¹0. Тогда либо
´
= 0 ( если векторы
и
коллинеарны ), либо (
´
) ^
( если
и
неколлинеарны). В любом случае
· (
´
) = 0. g
Итак, доказано, что если векторы ,
и
компланарны, то
· (
´
) = 0. Верно и обратное: если
· (
´
) = 0, то векторы
,
и
компланарны. Действительно, если бы векторы
,
и
были некомпланарны, то по теореме доказанной выше, смешанное произведение
· (
´
) =
V ¹ 0, что противоречит условию.
Следствие. Из теоремы легко выводится следующее тождество · (
´
) =
· (
´
) (1) , т. е. знаки · и ´ в смешанном произведении можно менять местами. Действительно, согласно свойству (1) скалярного произведения (
´
) ·
=
· (
´
) (2.) . Далее по теореме имеем
· (
´
) =
V,
· (
´
) =
V (3). Так как тройки (
,
,
) и (
,
,
) имеют одинаковую ориентацию, т. е. либо обе правые, либо обе левые, то на основании теоремы в правых частях равенств (3) нужно брать один и тот же знак. Таким образом, имеем
· (
´
)=
· (
´
) и на основании равенства (2)
· (
´
) = (
´
) ·
, т. е. получено тождество (1). В силу тождества (1) смешанные произведения
· (
´
) и
· (
´
) можно обозначить более простым символом
·
·
.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 321;