Задачи для самостоятельной работы

1. По данным векторам а и b построить следующие их линейные комбинации: а) 2а + b; б) а — Зb; в) — а + 4-b;

2. Векторы служат сторонами треугольника ABC. Выразить через а, b, с векторы совпадающие с медианами треугольника.

3. В треугольной пирамиде SABC известны векторы Найти вектор , если точка О является центром масс треугольника ABC.

4. Дана прямоугольная трапеция ABCD, длины оснований AD н ВС которой соответственно равны 4 и 2, а угол D равен 45°. Найти проекции векторов на ось определяемую вектором .

5. Вектор а составляет с координатными осямн Ох и Оу углы . Вычислить его координаты, если |а| =2.

6. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах

7. Векторы определяют стороны треугольника ABC. Найти длину вектора , совпадающего с медианой, проведенной из вершины С.

8.В параллелограмме ABCD даны стороны

Выразить через и векторы

9. В Треугольнике ABC проведины меридианы a AK, BL и CM. Выразить и через векторы и .

10. Даны векторы и . Найти векторы: ; .

11. Найти направляющие косинусы вектора

12.Дано =5, =6. Найти скалярное произведение векторов и , если угол между ними равен 120°

13. Найти угол А в треугольнике с вершинами A(1;2;-1), B(5;5;11), C(13;18;20)

14. Даны векторы , , . Найти проекцию вектора на вектор .

15. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

16. Найти ,если

17. Даны векторы и . При каком значении m эти векторы перпендикулярны?

18.Даны три последовательные вершины параллелограмма А (-3;-2;0), В(3;-3;1) и С(5;0;2). Найти четвёртую вершину D и угол между векторами и .

19. Даны векторы и . При каком значении m векторы перпендикулярны?

20. Найти площадь треугольника с вершинами А (2;2;2), В(1;3;3), С(3;4;2).

21. Упростить:

22. Известно, что а угол между иравен Найти .

23. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

24. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1;1;1), В (2;3;4), С (4;3;2).

25. Вычислить площадь и высоту параллелограмма, построенного на векторах

26. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где .

27. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

28. Найти значения α и β, при которых векторы = и = являются коллинеарными.

29. На оси аппликат найти точку, равноудаленную от точек А(3;9;-1) и В(7;-3;9)

30. Определите координаты концов P и Q отрезка, который точками М(3;1;3) и N(6;-1;1) разделён на три части.

31. Проверить, является ли векторы компланарными?

32. Найти объём тетраэдра с вершинами в точках А (-1;1;0), В(2;-2;1), С(3;1;-1), D(1;0;-2).

33. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах и .

34. Установить, лежат ли в одной плоскости точки А (4;3;10), В (5;1;5), С (2;2;5), D (3;4;12).

35. В тетраэдре с вершинами D (-3;-3;-3), A (2;-1;-3), B (-1;2;3) и

C(-2;-2;1). Найти площадь грани АВС и длину высоты, проведённой к этой грани.

36.Выяснить, компланарны ли векторы ?

34. Определить , при котором компланарны векторы и

37. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках А (-1; 1; 0 ), В ( 2; -2; 1 ), С (3; 1; -1 ), D =(1; 0; -2 ).

38. На прямой проходящей через точки А (-3;8;2) и B (1;-2;0) найти точку С, абсцисса которой

39. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках

40. Найти точку пересечения медиан треугольника, если вершинами его служат точки А(7;-4;5), В(-1;8;-2), С(-12;-1;6).

41. Найти все значения m, при которых вектор а(1; m; 3) линейно выражается через векторы b (2;3;7), c (3;-2;4), d (-1;1;-1).

42. Предприятие выпускает 4 вида продукции Р₁, Р₂; Р_3, Р₄ в количествах 50, 80, 20,120 единиц. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 7; 3,5; 10; 4 кг. Определите суммарный расход сырья и его изменение при изменениях выпуска продукции Р₁, Р₂; Р_3, Р₄ соответственно +5, -4, -2, +10 единиц.

43. Предприятие выпускает три вида продукции Р₁, Р₂; Р₃ в количестве 15, 25, 40 штук, реализуемых по ценам 30, 40, 50 усл. Ед. соответственно. Найти выручку предприятия от реализации продукции и ее изменение при изменении Р₁, Р₂; Р₃цен продукции соответственно на +5, -3, +2 усл. ед.

44. Выяснить, являются ли векторы а₁=(4;-5;2;6),а₂=(2;-2;1;3),а₃=(6;-3;3;9),а₄=(4; -1;5;6) линейно зависимыми?

3. Ответы:

4. ,

5.

6. 7.

8. , , , , ;

9. , , ;

10 ; 11. cos =8/9,cos =-4/9,cos =1/9; 12. -15; 13. ; 14. ; 15. 14/11; 16. -7/3; 17. -7; 18. D(-1;1;1) ; 19. 4; 20. /2, 22. /2; 23. ; 24. ; 25. / , 28. α=12; β=-6, 29. (0;0;12/5); 30. P(0;3;5) Q(9;-3;-1); 34. 1/6;

35. С(-2; 11/2; 3/2); 37. 25/6; 39.40/3; 40.(-2;1;3); 41. 1; 42. 1310 кг.; 41 кг.; 43. 3450 усл. ед.; 80 усл. ед.