Основные свойства векторного произведения
1.
= 0, если
и
- коллинеарные векторы.
Доказательство. Если векторы и
коллинеарны, то sin j= 0. Следовательно, |
´
| = |
|·|
| sin j = 0, т. е. длина вектора
равна нулю, а значит, и сам вектор
равен нулю. g
2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов и
равна площади параллелограмма ОАВС, построенного на этих векторах
Доказательство: Как известно из элементарной геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда | |·|
| sin j = S, т. е. |
´
| = S.
3.
= –
´
(свойство антиперестановочности сомножителей).
4. (λ )
= λ (
) (свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
5. ( +
)
=
+
(свойство распределительности относительно суммы векторов).
6.
=
, если два ненулевых вектора коллинеарны и наооборот.
Замечание: Свойство (5) дает право при векторном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно, а свойство 3) – объединить числовые коэффициенты векторных множителей. Например,
(2 + 3
)
(4
+ 5
) = (2
+ 3
)
4
+ (2
+ 3
)
5
= 2
4
+ 3
4
+ 2
5
+ 3
5
= 8 (
) + 12 (
) + 10 (
) + 15(
+
).
Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей векторного произведения является существенным и при перестановке сомножителей знак векторного произведения нужно заменить, например,
( +
+
)
( 2
+ 3
)= 2(
) + 2(
) + 2(
) + 3(
) + 3(
) + 3(
) = 2(
) - 2(
) + 3(
) +3(
) = 2(
) + 3 (
) (
).
Замечание 2: Согласно определению и свойству 1 и 2 векторного произведения для базисных векторов ,
,
получаем следующие равенства
´
= 0 ;
´
=
;
´
= -
;
´
= -
;
´
= 0 ;
´
=
;
´
=
;
´
= -
;
´
= 0.
4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
Теорема: Если векторы и
заданы своими координатами:
={Х1 ;У1; Z1 } и
={Х2 ;У2; Z2 }, то векторное произведение вектора
на вектор
определяется формулой
´
= { ( У1 Z2 – У2 Z1) ; (Х2 Z1 – Х1Z2) ; (Х1 У2 – Х2 У1 ) }.
Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
´
=
;
;
.
С помощью определителя третьего порядка эту формулу можно записать так:
´
=
=
( У1 Z2 - Z1У2) +
(Х2 Z1 – Z2 Х1) +
+ (Х1 У2 – Х 2 У1) .
Доказательство: Разложим векторы и
по базису
;
;
;
= Х1
+ У1
+ Z1
,
= Х2
+ У2
+ Z2
,
´
= Х1 Х2 (
´
) + Х1У2 (
´
) +Х1 Z2 (
´
) + У1 Х2 (
´
) + У1 У2 (
´
) + У1 Z2 (
´
) + Z1 Х2 (
´
) + Z1У2 (
´
) + Z1 Z2 (
´
) . Отсюда на основании равенства ( 2 ), находим
´
= (У1 Z2 – У2 Z1)
+ (Х2 Z1 – Х1Z 2)
+ (Х1 У2 – Х2 У1)
или
´
=
+
+
.
Получено разложение вектора ´
по базису
;
;
; коэффициенты этого разложения представляют собой координаты вектора
´
. Таким образом,
´
= {Х ;У ;Z } , где Х =
, У =
, Z =
(3) . g
Пример: Даны векторы = {2 ;5 ;7 }, и
= {1 ;2 ;4 }. Найти координаты векторного произведения
´
.
Решение: По формуле ( 3 ) находим Х = = 6; У =
= - 1 ; Z =
= – 1 .
Итак, ´
= {6;– 1 ; – 1}.
§ 5. Смешанное произведение векторов
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 450;