Основные логические функции

БУЛЕВА АЛГЕБРА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ

Математический аппарат, описывающий работу дискретных устройств, базируется на алгебре логики, или как ее называют по имени одного из создателей - английского математика Дж. Буля (1815 - 1864 гг.) - на булевой алгебре.

Слово ”логика” означает систематический метод рассуждений. Логика базируется на исчислении высказываний, что представляет собой совокупность правил для определения истинности или ложности некоторой комбинации высказываний [ 1 ].

Именно на анализ рассуждений и была ориентирована алгебра, описанная Дж. Булем, но в 1910 г. П.С. Эренфест впервые применил булеву алгебру для анализа контактных цепей, чем положил начало широкому использованию булевой алгебры в технике.

Основные логические функции

Возьмем в качестве аналога логической функции электрическую цепь с контактами. Обозначим наличие входного сигнала управления контактом Х=1, а его отсутствие Х=0. Если в результате действия входного сигнала цепь замкнется, будем считать выходной сигнал Y= 1, если цепь будет разомкнута, то Y=0. В современной технике контактные элементы заменяют бесконтактными (например, на тиристоры или транзисторы в ключевом режиме). Два значения логических сигналов в этом случае физически представляются в виде двух уровней электрического напряжения: низкого и высокого.

а) Рассмотрим цепь с одним замыкающим контактом (рис.1).

Логику ее работы можно записать следующим образом:

“Если Х= 0, то Y= 0. Если Х= 1, то и Y= 1”;

Для сокращения записей анализ связей входных и выходных сигналов оформляется в виде таблицы, называемой таблицей состояния или таблицей истинности. Эта таблица имеет (m+ n ) столбцов и 2ⁿ строк, где n — число входных переменных (сигналов), а m — число выходных сигналов.

Мы имеем 1 входной сигнал и 1 выходной сигналы, следовательно, таблица состояний имеет два столбца и две строки. Выходной сигнал Y повторяет значение входного сигнала Х.

Такая функция называется функцией повторения.

Рис.3. Графическое обозначение элемента повторения.

Уравнение: Y = X.

б) Рассмотрим цепь с размыкающим контактом (рис. 2). Если нет воздействия на контакт цепи, то цепь замкнута, иначе цепь размыкается.

Логика работы может быть словесно описана следующим образом:

“ Если Х НЕ 1, то Y = 1 ”.

Выходной сигнал имеет значение, противоположное (инверсное) входному. Такая логическая функция получила название функции отрицания, или функции инверсии, или функции НЕ.

__

Уравнение: Y = Х(читается Y НЕ Х).

Черта над переменной обозначает инверсию сигнала.

Графическое обозначение элемента НЕ:

Кружок на выходе обозначает инверсию

выходного сигнала.

Рис.4. Обозначение элемента НЕ.

Рассмотрим далее логические функции двух переменных, что соответствует электрической цепи с двумя контактами.

в) Цепь с последовательно соединенными замыкающими контактами.

Схема Таблица истинности

Х₁ ¯ Х₂ ¯ ®Y

Рис. 5.

Словесная формулировка алгоритма работы схемы:

“ Если Х₁ = 1 И Х₂ = 1, то У = 1”.

Логическая функция получила название функции И, или функциилогического умножения (конъюнкции).

Уравнение функции: Y = Х₁ Ù Х₂ (читается: “ Y равно Х₁ И Х₂“),

где Ù - символ операции конъюнкции.

Допускается использовать знак обычного умножения ( × ). Y = Х₁ × Х₂.

Графическое обозначение Х₁

логического элемента И : Y

Знак & - символ логической операции И. Х₂

г) Цепь с параллельно соединенными замыкающими контактами.

Схема Таблица истинности

Х₁ ¯

®Y

Х₂ ¯

Рис.6.

Словесное описание работы схемы:

“Если Х₁ = 1, ИЛИ Х₂ = 1, ИЛИ оба равны 1, то Y = 1”.

Эта логическая функция получила название функции ИЛИ, функциилогического сложения (дизъюнкции).

Уравнение функции: Y = Х₁ Ú Х₂ (читается : Y равно Х₁ ИЛИ Х₂),

где Ú — символ операции дизъюнкции.

Допускается использовать знак обычного сложения “+” с учетом понимания из контекста, что речь идет о логическом сложении.

Y = Х₁ + Х₂.

Х₁

Графическое обозначение элемента ИЛИ: Y

Х₂

д) Цепь с последовательно включенными размыкающими контактами.

Схема Таблица истинности

Х₁ ¯ Х₂ ¯ Y®

Рис.7.

Описание работы схемы:

“ Если Х₁ = 1 ИЛИ Х₂ = 1, то YНЕ 1”.

Это логическая функция ИЛИ-НЕ. Она имеет специальное название - стрелка Пирса. _______ Х₁

Уравнение функции: Y = Х₁ Ú Х₂ . Обозначение: Y

Х₂

Сначала производится логическая операция ИЛИ над входными сигналами, а затем операция НЕ (инверсия) над результатом.

Проанализировав таблицу состояний элемента ИЛИ-НЕ, его работу можно описать другим способом:

“ Если Х₁ НЕ 1 И Х₂ НЕ 1, то Y = 1”.

Здесь сначала входные сигналы инвертируются, а затем производится операция И.

Это соответствует уравнению:

Из рассмотренного примера следует интересная формула, которую в дальнейшем мы встретим в виде закона или правила Де Моргана:

________ ___ ___

Y = Х₁ Ú Х₂ = Х₁ Ù Х₂.

е) Цепь с параллельно включенными размыкающими контактами

Схема Таблица истинности

Х₁ ¯

® Y

Х₂ ¯

Рис.8.

Описание работы схемы:

“Если Х₁ = 1 И Х₂ = 1 , то Y НЕ 1 “.

Цепь разомкнута только тогда, когда разомкнуты оба контакта.

Это логическая функция И-НЕ, или функция Шеффера.

_______

Логическое уравнение: Y = Х₁ Ù Х₂. Х₁ Y

Условное графическое обозначение (УГО): Х₂

Аналогично предыдущему логику работы схемы можно описать по-другому:

“ Если Х₁ НЕ 1 ИЛИ Х₂ НЕ 1, то Y = 1”.

Это будет соответствовать уравнению:

Y = Х₁ Ú Х₂ = Х₁ Ù Х₂.

Далее рассмотрим несколько цепей, содержащих и замыкающие, и размыкающие контакты двух переменных.

ж) Цепь с последовательно включенными замыкающим и размыкающим контактами.

Схема Таблица истинности

Х₁ ¯ Х₂ ¯

Y®

Рис.9.

Выходной сигнал Y повторяет входной сигнал Х₁, если нет сигнала Х₂, иначе выходной сигнал равен 0. Логическая функция называется: Запрет по Х2. Применяется на практике для блокировки прохождения управляющего сигнала Х₁ в зависимости от значения сигнала Х₂ (например, контроль наличия ограждения и других защитных барьеров).

__

Логическое уравнение функции: Y = Х₁ Ù Х₂ .

Поскольку переменные равноправны, переставив символы Х₁ и Х₂, получим функцию “Запрет по Х1” __

Y = Х₂ Ù Х₁.

з) Цепь с реверсивными управляющими сигналами (ВПЕРЕД - НАЗАД).

Схема Таблица истинности

Х₁ ¯ Х₂ ¯

Y

®

Х₁ ¯ Х₂ ¯

Рис.10.

Выходной сигнал Y будет равен 1, если Х1=1 ИЛИ Х₂=1, но исключается случай, когда Х₁ И Х₂ равны 1. То есть цепь замкнута, если входные сигналы Х₁ и Х₂ разные. Эта логическая функция называется функцией неравнозначности, или функцией Исключающее ИЛИ(в англоязычной литературе - Exclusive OR или XOR), или функцией Сложения по модулю 2. Последнее название отражает то, что таблица истинности данной функции соответствует таблице арифметического сложения одноразрядного двоичного числа, когда при сложении 1 + 1 результат равен 0 и возникает перенос 1 в старший разряд. __ __

Логическое уравнение: Y = Х₁ Ù Х₂ Ú Х₁ Ù Х₂ = Х₁ Å Х₂,

где Å - символ сложения по модулю 2.

Х₁

Условное графическое обозначение функции: М2 Y

Х₂

и) Цепь с последовательно включенными замыкающими и размыкающими контактами, соединенными параллельно.

Схема Таблица истинности

Х₁ ¯ Х₂ ¯

Y

Х₁ ¯ Х₂ ¯

Рис.11.

Цепь будет замкнута, когда входные сигналы Х₁, Х₂ одинаковые. Это будет логическая функция равнозначности или эквивалентности.

___ ___ ________

Логическое уравнение цепи: Y = (Х₁ Ù Х₂) Ú ( Х₁ Ù Х₂ ) = Х₁ Å Х₂.

В заключение сделаем выводы о соответствии релейно-контактных схем и логических уравнений:

— замыкающий контакт соответствует переменной уравнения в прямой форме;

— размыкающий контакт схемы соответствует переменной уравнения в инверсной форме;

— последовательное соединение контактов соответствует конъюнкции (операции И) переменных;

— параллельное соединение контактов соответствует дизъюнкции (операции ИЛИ) переменных.

Получив начальные сведения по базовым логическим операциям и функциям, перейдем к изложению основных законов булевой алгебры.