Точкова оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія
За точкову оцінку дисперсії беруть вибіркову дисперсію , яка є зміщеною оцінкою параметра . Цей факт випливає з рівності , яку неважко встановити за допомогою безпосередніх обчислень. Тому вибіркову дисперсію доцільно виправити таким чином, щоб вона стала незміщеною оцінкою. Для цього достатньо помножити на дріб .
Виправлену вибіркову дисперсію позначають .
Тоді виправленим середньоквадратичним відхиленням вибірки буде
Дріб називають поправкою Бесселя. Для малих п поправка Бесселя значно відрізняється від одиниці. Для п>50 практично немає різниці між і .
Можна показати, що оцінки і є змістовними і не є ефективними.
У випадку, коли математичне сподівання а відоме і випадкова величина Х нормально розподілена, то незміщеною, змістовною та ефективною оцінкою дисперсії є оцінка
Точкові оцінки параметрів розподілу є випадковими величинами, їх можна вважати первинними результатами обробки вибірки тому, що невідомо, з якою точністю кожна з них оцінює відповідну числову характеристику генеральної сукупності.
Однак, при малому об’ємі вибірки точкові оцінки можуть мати значні розходження із значенням параметра, що оцінюється. Це призводить до грубих помилок.
Більш точними є інтервальні оцінки.
Означення. Інтервальноюназивають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу.
Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність та надійність оцінок.
Нехай за даними вибірки знайдена статистична оцінка невідомого параметра , який бдемо вважати сталим числом. Очевидно, що тим точніше визначає параметр , чим менша за абсолютною величиною різниця .
Означення. Число δ, для якого виконується нерівність <δ, називають точністю оцінки.
Означення. Надійністю оцінки по називають ймовірність γ, з якою виконується нерівність < δ або
γ=Р( <δ) (20)
Найчастіше число γ задається наперед і, залежно від обставин дорівнює 0,95 або 0,99, або 0,999.
Замінимо нерівність на рівносильну .
Звідси формулу (20) можна переписати у такому вигляді
.
Означення. Інтервалом довір’я або довірчим інтервалом називають інтервал , який із заданою надійністю покриває невідомий параметр .
Зауваження. Кінці довірчого інтервалу є випадковими величинами.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 588;