Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу

Повною характеристикою випадкової величини – ознаки генеральної сукупності є її закон розподілу. Для його встановлення дослідними методами потрібні певні затрати ресурсів і часу. Однак часто є підстави вважати, що той чи інший закон розподілу є відомий (наприклад: пуассонівський, нормальний, показниковий тощо). Але щоб конкретизувати цей закон, потрібно знати його параметри, які називають параметрами розподілу. Зокрема для нормального закону розподілу параметрами є а і , для пуассонівського – , для показникового – і т. д.

Отже, вивчаючи певну ознаку Х генеральної сукупності, ми можемо знати характер закону розподілу випадкової величини Х, але параметри цього закону залишаються невідомими. Тоді виникає задача: на основі одержаної вибірки з генеральної сукупності визначити наближені числові значення невідомих параметрів розподілу. Такі наближені числові значення параметрів розподілу називають їхніми точковими статистичними оцінками, або просто точковими оцінками.

Означення. Статистичною оцінкоюневідомого параметра випадкової величини Х генеральної сукупності називають функцію від випадкових величин (результатів вибірки), що спостерігається.

Щоб статистичні оцінки давали найкращі наближення параметрів, вони повинні задовольняти певним вимогам. Розглянемо ці вимоги.

Нехай є статистична оцінка невідомого параметра теоретичного розподілу.

Припустимо, що за вибіркою об’єму n знайдена оцінка . При інших вибірках того ж об’єму одержимо деякі інші оцінки Саме оцінку можна розглядати, як випадкову величину, а числа , як її можливі значення.

Якщо числа k=1,2, …,m будуть більші значення , тоді оцінка дає наближене значення з надлишком. У цьому випадку математичне сподівання випадкової величини буде більше , М( )> .

Якщо дає оцінку з недостачею, тоді М( )< .

Таким чином, використання статистичної оцінки, математичне сподівання якої не дорівнює параметру , приводить до систематичних похибок.

Вимога М( )= застерігає від систематичних похибок.

Статистичні оцінки класифікують за такими ознаками:

Означення. Статистичну оцінку θ^* параметра θ називають незміщеною, якщо М(θ^*)=θ. Зміщеною будемо називати статистичну оцінку, для якої М(θ^*)≠θ.

Означення. Ефективною називають статистичну θ^* оцінку, яка при заданому обсязі вибірки п має найменшу дисперсію.

Якщо розглядати вибірки великого обсягу, то до статистичних оцінок висувається вимога змістовності.

Означення. Змістовноюназивають статистичну оцінку, яка при п→∞ прямує за ймовірністю до параметру, що оцінюється.

Прикладом змістовної оцінки можуть слугувати закони великих чисел, наприклад, теорема Бернуллі.

Статистичні оцінки можна поділити на точкові та інтервальні.

Означення. Точковоюназивають оцінку, яка визначається одним числом.

Наприклад, вибіркова середня, вибіркова дисперсія – точкові оцінки відповідних числових характеристик генеральної сукупності.