Прямое произведение множеств.

Прямым (или декартовым) произведением множеств Аи В называется множество , состоящее из всех упорядоченных пар (a,b) таких, что и .

Если Аи В - конечное множество, мощности и , то .

Геометрическим образом множества действительных чисел R является прямая, а геометрическим образом декартового квадрата является плоскость.

Множество всех двоичных наборов длины n можно рассматривать как - n-ую декартову степень двухэлементного множества . Отсюда следует, что число двоичных наборов длины n равно 2ⁿ. Считая каждый двоичный набор характеристическим вектором подмножества n-элементного множества, получаем, что число всех подмножеств n-элементного множества равно 2ⁿ. Этим объясняется часто используемое обозначение 2^A для множества всех подмножеств A , которое используется как для конечных, так и для бесконечных множеств.

Если A конечное непустое множество, , то , так как 2ⁿ>n при Покажем, что для бесконечных множеств данное соотношение между мощностями сохраняется. Допустим противное, пусть между A и 2^A установлено взаимно однозначное соответствие . Определим множество следующим образом. Для каждого включим a в B в том и только в том случае, если . Пусть , где b-элементы множества A , для которого . Зададимся теперь вопросом, является ли b элементом множества B? Если , то по построению множества B. А если , то опять таки по построению множества B. Таким образом, одновременно имеет место и . Полученное противоречие и доказывает невозможность установления взаимно однозначного соответствия между A и 2^A.

Контрольные вопросы.

1. Что называется множеством?

2. Дайте определение пересечения множеств.

3. Что называют мощностью множества?

4. Дайте определение прямого произведения множеств.

5. Приведите примеры множества.

Тест 1.

1. Объединением множеств А и В называется множество…

а) { или }; б) { и };

в) { и }; в) { и };

2. Какая операция над множествами А, В, и С изображена на диаграмме

а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Даны множества , и . Результатом операции (А\В) С будет множество:

а) ; б) ; в) ; г){Ø}.

4. А={1, 2, 3}, В={а, в}. Какая пара чисел не принадлежит декартовому произведению А B

а) (1, а); б) (2, в); в) (3, а); г) (а, 2).

5. Является ли множество целых чисел счётным?

а) да; б) нет.