Нормальное распределение
Этот вид распределения является наиболее важным в связи с центральной предельной теоремой теории вероятностей: распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением их количества при произвольном законе распределения отдельных слагаемых, если слагаемые обладают конечной дисперсией. Кроме того, А.М. Ляпунов доказал, что распределение параметра стремится к нормальному, если на параметр оказывает влияние большое количество факторов и ни один из них не является превалирующим. Функция плотности нормального распределения
(3.1)
– унимодальная, симметричная, аргумент х может принимать любые действительные значения, рис. 3.5.
Рис. 3.5. Плотность нормального распределения
Функция плотности нормального распределения стандартизованной величины U имеет вид
.
Вычисление значений функции распределения Ф(u) для стандартизованного неотрицательного аргумента u (u,0) можно произвести с помощью полинома наилучшего приближения:
Ф(u) = 1– 0,5(1 + 0,196854u + 0,115194u2 + 0,000344u3 + 0,019527u4)– 4. (3.2)
Такая аппроксимация обеспечивает абсолютную ошибку не более 0,00025. Для вычисления Ф(u) в области отрицательных значений стандартизованного аргумента u (u<0) следует воспользоваться свойством симметрии нормального распределения
Ф(u) = 1 – Ф(–u).
Иногда в справочниках вместо значений функции Ф(u) приводят значения интеграла вероятностей (для u > 0)
(3.3)
Интеграл вероятностей связан с функцией нормального распределения стандартизованной величины u соотношением
Ф(u) = 0,5 + F(u).
3.2.2. Распределение χ2 (хи-квадрат)
Распределению хи-квадрат (χ2-распределению) с k степенями свободы соответствует распределение суммы квадратов n стандартизованных случайных величин ui, каждая из которых распределена по нормальному закону, причем k из них независимы, n>k. Функция плотности χ2-распределению с k степенями свободы
, x > 0, (3.4)
где х = χ 2, Г(k/2) – гамма-функция.
Число степеней свободы k определяет количество независимых слагаемых в выражении для χ 2. Функция плотности при k, равном одному или двум, – монотонная, а при k >2 – унимодальная, несимметричная, рис. 3.6.
Рис. 3.6. Плотность χ2-распределение
Математическое ожидание и дисперсия величины χ2 равны соответственно k и 2k. χ2-распределение является частным случаем более общего гамма-распределения, а величина, равная корню квадратному из χ2 с двумя степенями свободы, подчиняется распределению Рэлея.
С увеличением числа степеней свободы (k >30) χ2-распределение приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием k и дисперсией 2k. В таких случаях критическое значение χ2(k;a) » u1– a(k,2k), где u1–a(k,2k) – квантиль нормального распределения. Погрешность аппроксимации не превышает нескольких процентов.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 245;