Запись чисел в стандартном виде

Всякое положи­тельное число можно записать в виде

(*)

где число a удовлетворяет неравенствам , k - целое число.

Если число записано в виде (*), то говорят, что оно записано в стандартном виде. Целое число k называется порядком данного числа.

Например, порядок числа равен 1, порядок числа равен -2, порядок числа равен 0.

Например, если и , то

и следовательно, с точностью до .

Аналогично, с точностью до .

Если порядок числа x равен n, а порядок числа y равен m, то порядок произведения x∙y равен (n + m) или (n + m + 1).

Например, если и , тогда и .

Погрешности простейших арифметических действий:

Положение 1. Предельная абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами, равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

Замечание. При сложении приближенных чисел в полученном результате нужно отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из данных приближенных чисел.

Пример.Найти сумму , если ,

Решение: Из условия задачи следует, что . По правилу подсчёта точности суммы получаем Следовательно, .

Положение 2.Предельная абсолютная погрешность разности двух приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами, равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Замечание. При вычитании приближенных чисел в полученном результате нужно отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из данных приближенных чисел.

Пример. Найти разность , если ,

Решение: Из условия задачи следует, что , . По правилу подсчёта точности разности имеем . Следовательно, .

Положение 3. Предельная относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами, равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Замечание. При умножении приближенных чисел в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр (самое «короткое» из данных приближенных чисел).

Пример. ; ;

Решение: Будем иметь:

; .

; .

Но , откуда

Если округлить число u до приближенного значения , то получим:

.

Положение 4.Предельная относительная погрешность от деления двух приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами, равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Замечание.При делении приближенных чисел в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр (самое «короткое» из данных приближенных чисел).

Пример. ; ;

Решение: Будем иметь:

; .

; .

.

Но , откуда .

Если мы хотим округлить число u до приближенного значения , то получим: .

Положение 5. Предельная относительная погрешность степени приближенного числа, записанного в десятичной форме верными цифрами, равна произведению показателя степени на предельную относительную погрешность основания.

Замечание. При возведении приближенного числа в квадрат и куб в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число.

Пример. Найти степень , если с точностью до 2.5%.

Решение: По правилу подсчёта точности степени получаем с точностью до , т. е. с точностью до 10%.

Найдём границу абсолютной погрешности степени: . Следовательно, .

Положение 6. Предельная относительная погрешность корня из приближенного числа, записанного в десятичной форме верными цифрами, равна предельной относительной погрешности подкоренного числа, деленной на показатель корня.

Замечание. При извлечении квадратного или кубического корня из приближенного числа в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.

Пример. Найти , если с точностью до 2.5%.

Решение: По правилу подсчёта точности корня получаем с точностью до .

Найдём границу абсолютной погрешности степени: . Следовательно, .

Лекция 14. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Численное интегрирование – это вычисление определенного интеграла путем замены подынтегральной функции более простой аппроксимирующей функцией, последующего прямого интегрирования и получения расчетных формул (квадратурных формул).

Геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции, описываемой подынтегральной функцией

Численные методы нахождения определенного интеграла сводятся к вычислению площади криволинейной трапеции путем замены y=f(x) более простой линией. В зависимости от того, многочленом какой степени заменяется кривая y=f(x), получают различные формулы численного интегрирования: формулы прямоугольников, формулу трапеции, формулу Симпсона.

Рассмотрим график функции y=f(x) на [a;b]. Разобьем [a;b] точками на n равных частей, так что а=х₀ < x₁ < …< x_n=b. Точки х₀, х₁,…х_n – называют узлами разбиения.

Очевидно, что каждая точка , где k = 1,2,…,n, - шаг.

Формула средних прямоугольников:

Формула средних прямоугольников для расчета:

Формула левых прямоугольников:

Формула для расчета:

Формула правых прямоугольников:

Формула для расчетов:

Формула трапеции:

Формула метода трапеции имеет вид:

Метод Симпсона (метод парабол):

Формула для расчетов имеет вид:

Пример.Вычислить определенный интеграл по формулам прямоугольников и трапеции при n=6, .

Решение: подынтегральная функция имеет вид f(x)= , a = 0, b = 0.6

Шаг интегрирования равен

Так как и т.д., то составим расчетную таблицу.

Примечание: в связи с тем, что определенный интеграл необходимо вычислить и по формуле средних прямоугольников, то шаг в таблице будет равен (см. таблицу)

n	xn			f( xn)=
		0,000	1,000	1,000
0,5	0,05	0,003	1,003	0,998
	0,1	0,010	1,010	0,990
1,5	0,15	0,023	1,023	0,978
	0,2	0,040	1,040	0,962
2,5	0,25	0,063	1,063	0,941
	0,3	0,090	1,090	0,917
3,5	0,35	0,123	1,123	0,891
	0,4	0,160	1,160	0,862
4,5	0,45	0,203	1,203	0,832
	0,5	0,250	1,250	0,800
5,5	0,55	0,303	1,303	0,768
	0,6	0,360	1,360	0,735

Для вычисления определенного интеграла по формуле средних прямоугольников воспользуемся формулой:

Для вычисления определенного интеграла по формуле левых прямоугольников воспользуемся формулой:

Для вычисления определенного интеграла по формуле правых прямоугольников воспользуемся формулой:

По формуле трапеции получим: